数で遊ぶ〜九九を裏返してみよう〜

○×■を(9-○)×(9-■)にしてみましょう。

0の段の変換

0の段は、この変換で9-0=9の段になります。
0×0=0→9×9=81
0×1=0→9×8=72
0×2=0→9×7=63
0×3=0→9×6=54
0×4=0→9×5=45
0×5=0→9×4=36
0×6=0→9×3=27
0×7=0→9×2=18
0×8=0→9×1=9
0×9=0→9×0=0

0の段を9の段にすると、当然ながら9の倍数です。つまり、9で割った余りは0。

また、9の段の答えの各桁を足すと、いずれも9。つまり、9で割った余りは0。

例えば9×4=36の各桁を足すと3+6=9ですね。

これらの答えは、変換前と変換後で変わらず、です。不思議ですね。

1の段の変換

では、１の段をやりましょう。これは9-1=8の段になります。

すると、答えの各桁の足し算をして、それを9で割った余りは、変換前と変換後で同じになってることに気づきます。

1×0=0→8×9=72 7+2=9
0も9も、9で割った余りは0ですね。

1×1=1→8×8=64 6+4=10 1+0=1
変換前と変換後でどちらも1で同じです。

1×2=2→8×7=56 5+6=11 1+1=2
変換前と変換後でどちらも2で同じです。

1×3=3→8×6=48 4+8=12 1+2=3
変換前と変換後でどちらも3で同じです。

…とまあ、1の段はこれ以降省略します。

2の段の変換

2の段ではどうでしょう？9-2=7の段ですね。

2×0=0→7×9=63 6+3=9
0も9も、9で割った余りは0ですね。

2×1=2→7×8=56 5+6=11 1+1=2
変換前と変換後でどちらも2で同じです。

2×2=4→7×7=49 4+9=13 1+3=4
変換前と変換後でどちらも4で同じです。

…とあと省略しますが、こんな具合でやっていくと分かることはなにかと言うと、、、

分かること

○×■と、(9-○)×(9-■)とで、各桁を足したものを9で割った余りは同じ、

という結論になります。

これは一見不思議ですが、9の倍数判定法として、

「数の各桁の足し算をして9の倍数なら、その数は9の倍数」

というものがあり、実は

「各桁の足し算とは、9で割った余りになっている」

のです。

ですので、○×■と(9-○)×(9-■)の9で割った余りを比較すればいい話でして、

(9-○)×(9-■)=9×9-9×○-9×■+○×■

であって、9×9、9×○、9×■はみんな9の倍数です。つまり9で割ると余りは0。

よって、(9-○)×(9-■)を9で割った余りは、○×■を9で割った余りと同じになります。

というお話なのでした。

夏休みの自由研究で、九九の裏返し(勝手に命名^_^)を題材にしてみてもいいのではないでしょうか？