６相６線式送電線路を考える(4)　「３相の送電容量」

2023年7月17日 19:30

３相３線式の電圧を正三角形で見る

線間電圧は相電圧の引き算なので、相電圧のベクトルの先端同士を結んだベクトルが線間電圧になっています。3つの線間電圧は正三角形になっていて、相電圧は正三角形の外心(３つの頂点の中点)から各頂点を結ぶベクトルになっています。

相電圧

$$
\begin{alignedat}{2}
\.V_A &=E \angle \frac{1}{6}\pi
= E \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + j\dfrac{1}{2}\right)&\text{　…(10-A)}\\\\
\.V_B &=E \angle \frac{5}{6}\pi
= E \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2} + j\dfrac{1}{2}\right)&\text{　…(10-B)}\\\\
\.V_C &=E \angle \frac{3}{2}\pi
= -jE &\text{　…(10-C)}
\end{alignedat}
$$

線間電圧

$$
\begin{alignedat}{2}
V &= E \sqrt{3}\text{とおくと、} \\\\
\.V_{AB}&=V \angle 0
=V &\text{　…(11-1)} \\\\
\.V_{BC}&=V \angle \frac{2}{3}\pi
=V \left( -\dfrac{1}{2} + j\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)
&\text{　…(11-2)}\\\\
\.V_{CA}&=V \angle \frac{4}{3}\pi
=V \left( -\dfrac{1}{2} - j\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)&\text{　…(11-3)}
\end{alignedat}
$$

送電線の話

送電線では、電流の２乗に比例した損失が出ます。
送電容量は電圧 × 電流なので、電圧を上げれば上げるほど、同じ太さの電線で多くの電気を送れます。
しかし、送電線の電圧を上げすぎると、空気中に電気が流れてしまいます。(空中放電)
なので、送電線の電圧にも限界があります。

３相３線式と送電容量

単相２線式の送電容量

ここで、送電線の定格電圧(線間電圧)を$${V_L}$$、定格電流を$${I_L}$$、送電容量を$${K}$$とすると、家庭用のような単相２線式(行き帰り一本ずつ)なら、
$${K=V_L I_L}$$　になります。単相２線式の線１本あたりの送電容量を$${K_2}$$で表すなら、
$${K_2 = \dfrac{1}{2}V_L I_L}$$　…(12)

になります。
この数値が大きい程同じ電線で多くの電力を送電できることになります。

３相３線式の送電容量

下の図は、線間電圧$${V_L}$$の３相３線式送電線路に３相平衡負荷(３相ともバランスの取れた電気を使う設備)を繋いだ簡略化した図です。
注意点として、$${V_L}$$も$${I_L}$$も絶対値を表していて、計算をするときは位相を考慮しなければなりません。
$${I_L}$$の向きが全部同じになっているのはそのためで、実際は逆向きの電流をマイナスとして計算し、３相とも足すと零になって辻褄が合うのです。

上の図を相電圧の図に書き直します。
平衡３相回路では零相の電流は流れない$${(I_0 = 0)}$$です。

上の図で１相だけを簡略化したのが、下の図です。

送電線の定格電圧(線間電圧)を$${V_L}$$、定格電流を$${I_L}$$、送電容量を$${K}$$とすると上の図より、

$$
\begin{aligned}
\dfrac{1}{3}K&=\dfrac{1}{\sqrt{3}}V_L I_L \\\\
K&=\dfrac{3}{\sqrt{3}}V_L I_L \\\\
K&=\sqrt{3} V_L I_L
\end{aligned}
$$

線１本あたりの送電容量を$${K_3}$$で表すなら、

$$
\begin{aligned}
K_3 &= \dfrac{1}{3} \sqrt{3} V_L I_L \\\\
K_3 &=\dfrac{1}{\sqrt{3}}V_L I_L \text{　…(13)}
\end{aligned}
$$

$${K_2}$$(単相)と$${K_3}$$(３相)を比較するため、$${\dfrac{K_3}{K_2}}$$を計算すると、

$$
\begin{aligned}
\dfrac{K_3}{K_2}&=\dfrac{\frac{1}{\sqrt{3}}V_L I_L }{\frac{1}{2}V_L I_L }\\\\
&=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\\\\
&≈1.15
\end{aligned}
$$

つまり３相３線式は行き帰り一本ずつの単相２線式に比べ、電線一本当り1.15倍も多くの電力を送電できるので経済的なのです。

新たな疑問

ここまでを理解すると、３相３線式が良いのはわかりましたが、４相４線式とか、６相６線式はどうなの？って私は思いました。

次回はそれを考えてみます。
今回も読んでくださり、ありがとうございました。

なお、送電線には電流の２乗に比例した損失以外の諸問題もあり、力率という交流ならではの問題もありますが、今回は省略させていただきました。

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