６相６線式送電線路を考える(2)　「線間電圧を計算」

それでは、３相３線式で線間電圧が相電圧の$${\sqrt{3}}$$倍になり、位相が$${\frac{1}{6}\pi}$$遅れる理由を確かめたいと思います。
なお、今回はひたすら計算です。
途中で見るのが嫌になったら、読み飛ばしてください。

各相の相電圧

相電圧を E [v] 、相回転順をA→B→Cとし、A相、B相、Ｃ相の相電圧をそれぞれ、$${v_A,  v_B,  v_C}$$ とし、$${\omega = 2 \pi f}$$ とおく。
まず、A相の相電圧を次のようにする。

$${v_A = E \sqrt{2} \sin \left(\omega t + \dfrac{1}{6}\pi \right)}$$　…(8-A)

(位相を$${\frac{1}{6}\pi}$$進めたのは後で辻褄を合わせるためです。)

次に、Ｂ相の相電圧はA相より位相が$${\frac{2}{3}\pi}$$(120°)進むから、

$${v_B = E \sqrt{2} \sin \left(\omega t + \dfrac{5}{6}\pi \right)}$$　…(8-B)

また、Ｃ相の相電圧はＢ相より位相が更に$${\frac{2}{3}\pi}$$(120°)進むから、

$${v_C = E \sqrt{2}  \sin \left(\omega t + \dfrac{3}{2}\pi \right)}$$　…(8-C)

各線間電圧を求める

Ａ−Ｂ間の線間電圧を計算する

Ａ−Ｂ間の線間電圧$${v_{AB}}$$はＡ−Ｂ間の電位差なので、

$$
\begin{align*}
v_{AB} &=v_A - v_B \\\
\\
v_{AB} &=E \sqrt{2}  \left\{\sin \left(\omega t + \dfrac{1}{6}\pi \right) - \sin \left(\omega t + \dfrac{5}{6}\pi \right) \right\}\\\
\\
v_{AB}&= E \sqrt{2}  \left\{ \left(\sin \omega t \cos \dfrac{1}{6}\pi + \cos \omega t \sin \dfrac{1}{6}\pi \right) - \left( \sin \omega t \cos \dfrac{5}{6}\pi + \cos \omega t \sin \dfrac{5}{6}\pi \right) \right\} \\\
\\
v_{AB}&= E \sqrt{2}  \left(\cos \dfrac{1}{6}\pi \sin \omega t +\sin \dfrac{1}{6}\pi \cos \omega t - \cos \dfrac{5}{6}\pi \sin \omega t - \sin \dfrac{5}{6}\pi \cos \omega t \right)
\end{align*}
$$

$$
\begin{array}{lcr}
\cos \frac{1}{6} \pi = \frac{\sqrt{3}}{2} &&
\sin \frac{1}{6}\pi = \frac{1}{2}\\\\
\cos \frac{5}{6} \pi = -\frac{\sqrt{3}}{2} &&
\sin \frac{5}{6}\pi = \frac{1}{2} &&
\text{だから、}
\end{array}
$$

$$
\begin{align*}
v_{AB}&= E \sqrt{2}  \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \omega t + \frac{1}{2} \cos \omega t + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \omega t - \frac{1}{2} \cos \omega t \right)\\
\\
v_{AB}&= E \sqrt{2} × \sqrt{3} \sin \omega t \\\
\\
v_{AB}&= \sqrt{3} E×\sqrt{2}  \sin \omega t \text{　…(9-1)}
\end{align*}
$$

Ｂ−Ｃ間の線間電圧を計算する

Ｂ−Ｃ間の線間電圧$${v_{BC}}$$はＢ−C間の電位差なので、

$$
\begin{align*}
v_{BC}&=v_B - v_C \\\
\\
v_{BC}&=E \sqrt{2}  \left\{ \sin \left(\omega t + \frac{5}{6}\pi \right) - \sin \left(\omega t + \frac{3}{2}\pi \right) \right\} \\\
\\
v_{BC}&= E \sqrt{2}  \left\{ \left(\sin \omega t \cos \frac{5}{6}\pi + \cos \omega t \sin \frac{5}{6}\pi \right) - \left(\sin \omega t \cos \frac{3}{2}\pi + \cos \omega t \sin \frac{3}{2}\pi \right) \right\}\\\
\\
v_{BC}&= E \sqrt{2}  \left(\cos \frac{5}{6}\pi \sin \omega t + \sin \frac{5}{6}\pi \cos \omega t - \cos \frac{3}{2}\pi \sin \omega t - \sin \frac{3}{2}\pi \cos \omega t \right)
\end{align*}
$$

$$
\begin{array}{lcr}
\cos \frac{5}{6} \pi = -\frac{\sqrt{3}}{2} && \sin \frac{5}{6}\pi = \frac{1}{2}\\\\
\cos \frac{3}{2} \pi = 0 &&
\sin \frac{3}{2}\pi = -1 &&
\text{だから、}
\end{array}
$$

$$
v_{BC}= E \sqrt{2}  \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin \omega t + \dfrac{1}{2} \cos \omega t - 0 + \cos \omega t \right)\\\
\\
v_{BC}= E \sqrt{2}  \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin \omega t + \dfrac{3}{2} \cos \omega t \right)
$$

ここで、式を$${\sin (\omega t + \varphi)}$$の形に変形するために次の公式を使います。

$$
a \cos \theta + b \sin \theta= \sqrt{a^2 + b^2} \sin \left( \theta + \varphi \right)\\\
\\
\begin{cases}
\varphi &= \tan^{-1}\dfrac{a}{b}\\\
\\
\varphi &= \sin^{-1} \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\\\
\\
\varphi &= \cos^{-1} \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}
\end{cases}
$$

$$
v_{BC}=E \sqrt{2}  \left( \dfrac{3}{2} \cos \omega t - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin \omega t \right)
$$

()内に上の公式を使います。
まず、$${\sqrt{a^2 + b^2}}$$を求めます。

$$
\begin{align*}
\sqrt{a^2 + b^2} &= \sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 + \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}\\\
\\
 &= \sqrt{\dfrac{9}{4} + \dfrac{3}{4}}\\\
\\
 &= \sqrt{\dfrac{12}{4}}\\\
\\
&=\sqrt{3}
\end{align*}
$$

次に$${\varphi}$$を求めます。

$$
\begin{align*}
\sin\varphi&= \dfrac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}}\\\
\\
&= {\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\\\
\\
\cos\varphi &= \dfrac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}\\\
\\
&= -\dfrac{1}{2}\\\
\\
\varphi = \dfrac{2}{3}\pi
\end{align*}
$$

上の公式に代入して、

$$
v_{BC}= \sqrt{3}  E ×\sqrt{2}  \sin \left(\omega t + \dfrac{2}{3}\pi \right) \text{　…(9-2)}
$$

C−A間の線間電圧を計算する

C−A間の線間電圧$${v_{CA}}$$はC−A間の電位差なので、

$$
\begin{align*}
v_{CA}&=v_C - v_A\\\
\\
v_{CA}&=E \sqrt{2}  \sin \left(\omega t + \frac{3}{2}\pi \right)
- \sin \left(\omega t + \dfrac{1}{6}\pi \right)\\\
\\
v_{BC}&= E \sqrt{2}  \left\{ \left(
\sin \omega t \cos \frac{3}{2}\pi
+ \cos \omega t \sin \frac{3}{2}\pi \right)
- \left(\sin \omega t \cos \frac{1}{6}\pi
+ \cos \omega t \sin \frac{1}{6}\pi
\right) \right\}\\\
\\
v_{BC}&= E \sqrt{2}  \left(
\cos \frac{3}{2}\pi \sin \omega t
+ \sin \frac{3}{2}\pi \cos \omega t
- \cos \frac{1}{6}\pi \sin \omega t
- \sin \frac{1}{6}\pi \cos \omega t
\right)\end{align*}
$$

$$
\begin{array}{lcr}
\cos \frac{3}{2} \pi = 0 &&
\sin \frac{3}{2}\pi = -1 \\\
\\
cos \frac{1}{6} \pi = \frac{\sqrt{3}}{2} &&
\sin \frac{1}{6}\pi = \frac{1}{2}&&
\text{だから、}\end{array}
$$

$$
v_{BC}= E \sqrt{2}  \left(
0 - \cos \omega t
- \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin \omega t
- \dfrac{1}{2}\cos \omega t
\right)\\\
\\
v_{BC}= E \sqrt{2}  \left(
-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin \omega t
- \dfrac{3}{2} \cos \omega t
\right)
$$

ここで、式を$${\sin (\omega t + \varphi)}$$の形に変形するために次の公式を使います。

$$
a \cos \theta + b \sin \theta
= \sqrt{a^2 + b^2} \sin \left( \theta + \varphi \right)\\\
\\
\begin{cases}
\varphi &= \tan^{-1}\dfrac{a}{b}\\\
\\
\varphi &= \sin^{-1} \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\\\
\\
\varphi &= \cos^{-1} \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}
\end{cases}
$$

$$
v_{BC}= E \sqrt{2}  \left( -\dfrac{3}{2} \cos \omega t -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin \omega t \right)
$$

()内に上の公式を使います。まず、$${\sqrt{a^2 + b^2}}$$を求めます。

$$
\begin{align*}
\sqrt{a^2 + b^2} &= \sqrt{\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2 + \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}\\\
\\
 &= \sqrt{\dfrac{9}{4} + \dfrac{3}{4}}\\\
\\
 &= \sqrt{\dfrac{12}{4}}\\\
\\
&=\sqrt{3}
\end{align*}
$$

次に$${\varphi}$$を求めます。

$$
\begin{align*}
\sin\varphi&= \dfrac{-\frac{3}{2}}{\sqrt{3}}\\\
\\
&= -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\
\\
\cos\varphi &= \dfrac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}\\\
\\
&= -\dfrac{1}{2}\\\
\\
\varphi = \dfrac{4}{3} \pi
\end{align*}
$$

上の公式に代入して、

$$
v_{CA}= \sqrt{3}  E ×\sqrt{2}  \sin \left(\omega t + \dfrac{4}{3}\pi \right) \text{　…(9-3)}
$$

まとめ

A相、B相、C相それぞれの相電圧

$${v_A = E \sqrt{2} \sin \left(\omega t + \dfrac{1}{6}\pi \right)}$$　…(8-A)

$${v_B = E \sqrt{2} \sin \left(\omega t + \dfrac{5}{6}\pi \right)}$$　…(8-B)

$${v_C = E \sqrt{2}  \sin \left(\omega t + \dfrac{3}{2}\pi \right)}$$　…(8-C)

A-B間、B-C間、C-A間それぞれの線間電圧

$$
\begin{align*}
v_{AB}&= \sqrt{3} E×\sqrt{2}  \sin \omega t \text{　…(9-1)}\\\
\\
v_{BC}&= \sqrt{3}  E ×\sqrt{2}  \sin \left(\omega t + \dfrac{2}{3}\pi \right) \text{　…(9-2)}\\\
\\
v_{CA}&= \sqrt{3}  E ×\sqrt{2}  \sin \left(\omega t + \dfrac{4}{3}\pi \right) \text{　…(9-3)}
\end{align*}
$$

今回はここまでです。

今回の(2)では交流の相電圧の波形を直接計算して線間電圧を求めました。
でも、毎回求めるのは大変だし、間違える元になるので次回はもっと楽に計算する話に続きます。

最後まで読んでくださりありがとうございました。

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