誤差関数の広義積分を用いた定義

abstract　誤差関数は正規分布の累積分布関数として知られる重要な関数です。このnoteでは、誤差関数をsinc関数とガウス関数の掛け算を広義積分することで定義する方法を示し、このことが正規分布の特性関数と関係があることを示します。

1　Introduction

以下のように定義される関数 $${\mathrm{erf(x)}}$$ を誤差関数（error function）といいます。

$$
\begin{align*}
\mathrm{erf}(x) &:= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}\exp(-t^2)dt
\end{align*}
$$

誤差関数という名前と $${\mathrm{erf}(x)}$$ という表記は1871年にJ. W. L. Glaisherが論文[G]で導入したといわれています。

誤差関数は正規分布の累積分布関数を表現する関数なので、統計学では大変重要な関数の一つに数えられます。実際、標準正規分布の累積分布関数

$$
\begin{align*}
\Phi(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}\exp\left(-\frac{1}{2}t^2\right)dt
\end{align*}
$$

は次のようにして誤差関数で表すことができます。この定理の証明はAppendixに掲げます。

定理　$${\Phi(x)=\displaystyle\frac{1}{2}\left(1+\mathrm{erf}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}x\right)\right)}$$

このnoteでは、実は誤差関数には広義積分を用いた別の定義の方法が存在することを紹介します。標語的に言えば、誤差関数はsinc関数とガウス関数の掛け算の広義積分で定義できます。

2　広義積分による誤差関数の定義

誤差関数は第1節で紹介した定義以外にも、以下のようにsinc関数とガウス関数の掛け算の広義積分を用いて定義できることが知られています。

定理　$${\displaystyle\mathrm{erf}(x)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{1}{4}t^2\right)\frac{\sin xt}{t}dt}$$

この定理の証明には二重積分と複素積分を用います。

証明　関数 $${\displaystyle\frac{\sin xt}{t}}$$ は次のように積分で表示することができます。

$$
\begin{align*}
\int_{0}^{x}\cos ty dy = \left[\frac{\sin ty}{t}\right]_{0}^{x} = \frac{\sin tx}{t}
\end{align*}
$$

つまり定理の右辺は、以下のような二重積分で表すことができます。

$$
\begin{align*}
\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{1}{4}t^2\right)\frac{\sin xt}{t}dt &= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{0}^{x}\exp\left(-\frac{1}{4}t^2\right)\cos ty dtdy
\end{align*}
$$

Eulerの公式 $${\exp(i\theta)=\cos\theta+i\sin\theta}$$ から、この積分の中身は指数関数のみで表現できることがわかります。

$$
\begin{align*}
&\int_{-\infty}^{\infty}\int_{0}^{x}\exp\left(-\frac{1}{4}t^2\right)\cos ty dtdy\\
&= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{0}^{x}\exp\left(-\frac{1}{4}t^2\right)\mathrm{Re}\left[\exp(ity)\right]dtdy\\
&= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{0}^{x}\mathrm{Re}\left[\exp\left(-\frac{1}{4}t^2\right)\exp(ity)\right]dtdy\\
&=\int_{0}^{x}\left(\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{Re}\left[\exp\left(-\frac{1}{4}t^2+iyt\right)\right]dt\right)dy\\
&=\int_{0}^{x}\mathrm{Re}\left[\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{1}{4}t^2+iyt\right)dt\right]dy
\end{align*}
$$

積分の中に複素Gauss積分 $${\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\exp(-a(x-\beta)^2)dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}}$$, $${a\in\mathbb{R}_{>0},\beta\in\mathbb{C}}$$ があることに注意すれば、

$$
\begin{align*}
&\int_{0}^{x}\mathrm{Re}\left[\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{1}{4}t^2+iyt\right)dt\right]dy\\
&=\int_{0}^{x}\mathrm{Re}\left[\exp\left(-y^2\right)\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{1}{4}\left(t-2iy\right)^2\right)dt\right]dy\\
&= 2\sqrt{\pi}\int_{0}^{x}\exp\left(-y^2\right)dy\\
\end{align*}
$$

が従います。以上をまとめると

$$
\begin{align*}
\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin xt}{t}\exp\left(-\frac{1}{4}t^2\right)dt  = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}\exp\left(-y^2\right)dy = \mathrm{erf}(x)
\end{align*}
$$

が得られ、定理が正しいことがわかります。■

3　正規分布の特性関数との関係

今回の事実は何の脈絡もなく出てきたものではありません。実は、特性関数から累積分布関数を導出するLevyの反転公式を正規分布の場合に用いる際に現れる等式です。Levyの反転公式とは、次のような定理のことでした。

定理　$${\phi_{X}(t)}$$ を確率変数 $${X}$$ の特性関数とします。このとき、以下が成り立ちます。

$$
\begin{align*}
\mathbb{P}[a\leq x\leq b] &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\phi_{X}(t)\frac{\exp(-ita)-\exp(-itb)}{it}dt
\end{align*}
$$

さて、確率変数 $${X}$$ が正規分布 $${\displaystyle N\left(0,\frac{1}{2}\right)}$$ に従う場合には、以下のことが成り立ちます。

$$
\begin{align*}
\mathbb{P}[0\leq X \leq x] &= \frac{1}{2}\mathrm{erf}(x)\\
\phi_{X}(t) &= \exp\left(-\frac{1}{4}t^2\right)
\end{align*}
$$

このことをLevyの反転公式に当てはめると、実は第2節で掲げた定理が示唆されるのです。確認してみましょう。

$$
\begin{align*}
\frac{1}{2}\mathrm{erf}(x) &=  \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{1}{4}t^2\right)\frac{1-\exp(-it x)}{it}dt\\
&= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{1}{4}t^2\right)\left(\frac{\sin xt}{t}-i\frac{1-\cos xt}{t}\right)dt\\
&= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{1}{4}t^2\right)\frac{\sin xt}{t}dt\\
\end{align*}
$$

2行目では積分の虚部が以下のように奇関数の積分になっているので $${0}$$ になることを用いました。

$$
\begin{align*}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1-\cos xt}{t}\exp\left(-\frac{1}{4}t^2\right)dt &= 0
\end{align*}
$$

以上の議論から等式

$$
\begin{align*}
\mathrm{erf}(x) &= \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{1}{4}t^2\right)\frac{\sin xt}{t}dt
\end{align*}
$$

が得られました。これをLevyの反転公式なしに直接証明したのが第2節というわけですね。

Remark　わざわざ標準正規分布 $${N(0,1)}$$ でなく正規分布 $${N(0, 1/2)}$$ を考えたのは、累積分布関数が誤差関数 $${\mathrm{erf}(x)}$$ の定数倍という都合の良い形をしているからです。標準正規分布の場合は第1節で説明したように $${\mathrm{erf}(x/\sqrt{2})}$$ になっていました。 ■

Appendix　誤差関数と正規分布の累積分布関数

第1節の定理の証明を掲げます。積分範囲を負の範囲と正の範囲に分割します。

$$
\begin{align*}
\Phi(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}\exp\left(-\frac{1}{2}t^2\right)dt\\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{0}\exp\left(-\frac{1}{2}t^2\right)dt+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{x}\exp\left(-\frac{1}{2}t^2\right)dt\\
&= \frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{x}\exp\left(-\frac{1}{2}t^2\right)dt\\
\end{align*}
$$

ここで、$${s=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}t}$$ と置換します。$${ds=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}dt}$$ に注意します。

$$
\begin{align*}
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{x}\exp\left(-\frac{1}{2}t^2\right)dt &= \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}x}\exp(-s^2)ds\\
&= \frac{1}{2}\mathrm{erf}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}x\right)
\end{align*}
$$

以上の議論から

$$
\begin{align*}
\Phi(x) &= \frac{1}{2}\left(1+\mathrm{erf}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}x\right)\right)
\end{align*}
$$

となり、定理の等式が従います。

Acknowledgement

日頃からサポートいただいているコミュニティの皆さま、株式会社すうがくぶんかの方々に感謝申し上げます。

References

[G]　Glaisher, James Whitbread Lee. "On the class of definite integrals". London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 4. 42 (277): 294–302, 1871.