掛け算は逆にかけても良いのか？
以前からではあるが、小学校の算数のテストの答案をツイッターで晒し、問題提起がなされていることがよくある。特に、掛け算の順番についての問題提起は誰もが目にしたことがあるだろう。
「(式) 3×2=6」に対してチェックが入り、「2×3です」などとコメントが付されている。そのような画像を何度も見たことがあると思う。これに対してほとんどの人は理不尽であると考えて厳しい批判をしている。しかしながら、その中でなぜこの採点が不適切であるのかを十分に説明できる人はどれだけいるのだろうか。
よくある理由付けとしては、「どちらでも答えが同じだから」というのがある。これは理由としては論外である。それが許されるなら、偶然による答えの一致についても正解と認めなければならないだろう。
なぜ小学校では掛け算の順番を指導しており、なぜそれが「理不尽」なのかについて再考する。
この問題に対して最もよくなされる主張として、掛け算は順番を逆にしても答えが一致するから正解というものがある。しかしながらこれは数学的な事実であっても教育的では無い。というのも、掛け算が順番を入れ替えても問題がない(可換という)のは定理的であって、掛け算の定義に含まれるものではないからである。
なお、上の定理的であるという話に違和感を持つ数学的素養がある人は多いと思うが、小学校における算数というのはペアノの公理から１つずつ組み立てていった理論体系としての数学を学んでいるわけではなく、日常生活から帰納的に組み立てられた演算を念頭に置いたものであるということを今一度確認してほしい。四則演算を習いたての小学生は「でも環じゃん」みたいなことは言わない。一般的な数を用いることができない算数の範囲内で掛け算の可換性について演繹的に示すことはできない。xやyなどがない世界なので、どれだけ頑張っても帰納的な証明しかできないのである。
少し話が逸れたが四則演算を習いたての小学生にとって掛け算が可換であるというのは自明なことではない。教育的に四則演算には「○○られる数」と「〇〇する数」があり、これらは入れ替えられないものとして統一させて教えている。謂わば掛け算の可換性は証明できない経験的なものでしかないのである。
小学校の四則演算
小学校で扱う四則演算では、左側が「○○られる数」で、右側が「〇〇する数」である。ではなぜこのように左右を決定する必要があるのか。それは、四則演算の中に可換でない演算が含まれているからである。
例えば3-2は3が引かれる数、2が引く数である。当然3-2=1であるが、これを入れ替えると2-3=-1となり、答えは一致しない。算数的にこの間違いを指摘するならば、「引く数から引かれる数を引いちゃダメでしょ」という感じである。引き算の問題に対して、数字を入れ替えて何がいかんのだ？と指摘するような大人はいない。答えが間違っているからである。
同様に割り算に関しても同じことが言える。引き算と割り算はいずれも可換でない。
この類推から足し算や掛け算についても、左側が「○○られる数」で、右側が「〇〇する数」と定義される。3×2では3が掛けられる数、2が掛ける数である。左側がオリジナルの数字であり、それに右側の演算を施す、といった感じである。これを入れ替えてしまうと、オリジナルの数字が変わってしまうので、「掛ける数に掛けられる数を掛けちゃダメでしょ」となり間違いとなってしまうのである。
以上のように、小学校の算数において掛け算の順番が指導され、順番が間違いとされるのは「○○られる数」と「〇〇する数」の順番を生徒が理解できていないと解釈されるからである。これに対して入れ替えても答えが同じなのだから問題ないと言っているの、「○○られる数」と「〇〇する数」の関係性について言及していない点で論外なのである。
採点の問題
では、小学校教師の採点のどこが問題なのか。それは問題の「掛けられる数」が一意に決まらない問題なのにも関わらず、一辺倒な採点しかできていないという点である。言ってみれば、別解の採点ができていないというのが問題なのである。
面積の問題や文章題などで掛け算の式を書くとき、「掛けられる数」というのは当人の意識によって自由に決定可能なものである。そのため先ほどの例に則ると模範解答「3×2」に対して「2×3」というのは掛けられる数と掛ける数の順番を間違えている生徒の他にも、別解として掛けられる数を設定している生徒もいると考えられるのである。にも関わらず先生が一律に不正解としているというのが「理不尽」、あるいは「採点ミス」なのである。
では、どのようにすれば良いのか。この採点方式の目的が「○○られる数」と「〇〇する数」の順番をきちんと理解しているかということならば、問題文中でどちらが掛けられる数であるかというのを指定すれば良い。その上で順番が間違えているのではあれば順番をきちんと把握できていない生徒であるのかどうかをきちんと判断できるだろう。この順番がちゃんと身についていないと、特に可換でない引き算や割り算の演算計算に影響が出るので指導を必要とする。特に割り算は引き算と違って、大きい方から小さい方を......といったズルが使えなくなる。このため掛け算の段階で順番がきちんと身に付いているのかを判断するのは非常に大事なのである。
結論及び主義主張
さて、以上の議論は全ての四則演算を「○○られる数」と「〇〇する数」に分類するという前提で行われた。現在の小学校算数の方針としてはこの理念で動いている。しかしながら、そもそもこの前提が必要であるのかという議論は当然あるだろう。また、算数に対して上位概念である数学の定理を用いて何が悪いという意見もあるだろう。それらの意見は尤もである。そのような人々は自由に自分の思うように数学をすれば良いと思う。得意なものを伸ばすのも大事である。しかし、小学校の先生にとってもう１つ重要なのは、追いつけていない生徒を見つけて適切な指導をすることである。算数が得意な人と不得意な人が異なる論理思考で同じ出力を出しているならば、その出力結果しかみれない(贔屓を許さない世界ならば、それしか見るべきでない)先生にとっては不得意な生徒と同じフィードバックを返してしまうのも致し方ないである。
その上で、得意な生徒と不得意な生徒をもっときちんと分別できるような教材研究、問題作成を試みた方が良いのではないだろうかというのが私の意見である。
追記
議論を呼びそうなタイトルにしたおかげで、多くのご意見をいただくことができた。中には特に理解するつもりもなく相手の意見は間違っていると押し付けようとしているだけの議論が成り立たない相手もいたものの(そのような人は、思考停止して排他的になっている点で彼らの嫌いな『掛算順番固定至上主義者』と本質的に同一であるという自覚はないのだろうか)、十分に納得できる意見を頂けた者もいた。それは当然のことで、そもそも算数のこの問題は教育を取るか学問に合わせるかという問題に帰着され、どちらの主義を取るかによって意見が変わってくるものなのである。せっかくなのでその点についてもまとめておく。
算数と数学
数学とは、数論に基づいて演繹的に作られた学問体系である。その中身は当然ユニバーサルなもので、多少の定義の違いはあるものの(自然数に0を含むか否かという主義など)本質的には世界中で統一されているものであると言って良い。しかしながら小学生に教えるにあたって数学の難しさというのは、その抽象的な概念にある。「1」や「2」といった数字は、数字以上のものを指すわけではなく、具体物の「1つ」であったり「2個」であったりを指すわけではない。
児童の発達について教育心理学では抽象的な概念を理解できるようになるのは高学年よりも上のこととされている。この研究結果の妥当性に関しては、十分に議論されるべきものだとは思うが、現状その結果を元にして教育は考えられているし、私もそれを元にしている。四則演算を教えたい小学生に対して、数学は抽象度が高すぎるために難しすぎる。そこで、小学生に教える際には数論に基づいたこの数学という学問体系を具体物に落とし込んで、数字や演算に解釈を与えて、再構成する必要がある。そのようにして再構成したものが算数なのであろうと私は考えている。
念のため言葉を変えて繰り返すと、「数学」というのは学問体系であり、ユニバーサルなものである。一方で算数というのは抽象的な数学を小学校低学年でもわかるように組み立てなおした学問導入的な教育的体系であり、これは学問ではないのでユニバーサルである必要はないのである。抽象概念を理解できるようになった中学生の段階で、数学を理解できるように教育するための素材が算数であり、その用途でちゃんと機能するように各国の教育行政がそれぞれ組み立ててきたものだということである。
さて次に抽象概念を具体事象に落とし込む時にどうするか、という話が出てくる。数学においてA×Bという計算式はそのような演算であるという以上の意味はない。可換を前提としているなら順番という概念がそもそも不要であるので、これはB×Aと書いたとて本質的に同一である。しかし具体的にこれがどういう「意味」なんですかと、意味づけをして算数に落とし込まなければならない。これが掛け算において最初に導入される「順番」である。
例えば「4×3」というのが初めて出てきた時に「これは4つの餅が3つあるってことだよ」と説明することが想像できるのではないだろうか。ここで「注目しているもの」が「何個ある」といった形で演算を具体的な文章に落とし込んで順番が生じているのである。文章には主語が１つしかない以上、数字が２つあった時には序列が存在してしまうのである。
大事なことなので何度も書くが、順序が生まれてしまうのは抽象的な数学を具体的な算数という体系に落とし込んだせいで出てきてしまうものである。最初から具体的な体系に落とし込まず、抽象的な数学的四則演算のまま教えるべきである、という主張で順序は存在しないという意見ならそれはその通りであると思う。それを生徒が理解できるかという点でまた別の議論が生じると思うが。
交換法則を導入するか、順番を固定するか
最初に掛け算を教える時に数学には無い順序なる概念が誕生してしまったわけであるが、この後の方針としては２つ考えられる。１つは教えた直後に「でも本当の掛け算はどっちの順序でもいいからね」と交換法則を導入すること。もう１つはそのまま順序を固定した体系として掛け算を定義するということである。
1つ目の交換法則の導入は実に合理的であると思う。我々大人からしたら足し算と掛け算はどっちを前にしても同じであるということが容易に理解できる。計算能力・分類能力の高い生徒にとっても同様であろう。しかし、公教育である以上、理解力の高い生徒だけを対象としたカリキュラムを作るわけにはいかない。交換法則の成り立つものが四則演算のどれなのかというのを忘れて、引き算で交換してしまったりする生徒が現れることが危惧されるのである。
2つ目の順序の固定化は数学的な可換演算を非可換に無理やり再定義している点で数学との対応が取れるのかという点に疑問が残ってしまう。おそらく多くの『反掛算順番固定主義者』はこの点をついているのだと思う。最もである。一方で、四則演算を全て非可換に再定義することで、1つ目では2グループに分かれていたものを1つに統一することができ、思考のステップを一個減らすことができるわけである。注目しているものを左に、それに対する演算を右にという順序の決まった記法を用いれば、この記法の勉強をするだけで四則演算全てに対応できるという利点がある。注意しなければならないのは、この非可換化は数学に対応したものではないということである。言ってしまえばこれは教育界にある、教育のためのローカルルールである。これは算数を学問ではなく教育教材としてのものであると割り切っているからこそ設定できているものである。その前提を考えずに数学の世界からそれは違うと指摘しているのは、背景にある世界が異なりすぎて話が通じなくなる。
1つ目と2つ目、前者は学問重視、後者は教育重視でありそれぞれにメリットデメリットがある。このメリットとデメリットの兼ね合いを見て、どちらを導入するかを決めるわけである。交換法則の成り立つものと成り立たないものを分類するくらいの思考は誰でもできるので教育効果はそれほど変わらないと思うなら前者に。いや、算数は学問でなく教育目的のものなのだから、少しでも教育効果がありそうな方を選ぶべきだと思うなら後者に手を伸ばしている。どちらを取るかは十分に議論の起こり得るものであるし、議論を起こすべきものであると思う。
どの点が議論されるべきか
以上の主義主張に対して、十分に議論が巻き上がって当然であるという点がいくつかある。その点についてもここでまとめる。
・算数でも抽象的な内容、つまり数学そのものを扱うべきである
小学校低学年でも数学を扱えるだろうという主義主張だろう。これならば順序問題に悩まされる必要もない。世の中には数検に受かる小学生もいるのだし。私は小学生では流石に難しいのでは？と思っているので同意はしないが、意見としては理解できる。
・具体事象に落とし込んでも順序が生じない方法を模索するべき
尤もである。A×Bを、AがB個というように解釈するのではなく別の解釈をすることで順序の概念を消失させようということだろう。しかしながら引き算や割り算などの、そもそも非可換の演算がある以上、それらとの対応から順序の概念を導入するのは自然とも思える。もしこう考えているなら、むしろ順序の概念を導入した上で交換法則を導入するように考えた方が自然ではないだろうか。
・交換法則を導入した方が数学と対応するため良い。
この意見に関しては理解もするし、その上で同意もする。数学的正しさを考えたら交換法則を導入して、「算数として意味を与えるならこうなるけど、そもそもの数学だと可換演算に関してどっちでもいいよ」と教えるのは全然問題ないと思う。実際多くの生徒は勝手にこのように理解しているだろう。しかし前述したように可換演算と非可換演算とがごっちゃになってしまうような生徒が出るというのを危惧しているわけである。
・生徒の能力を過小評価しているのでは
非常に大事な視点である。生徒にはできないだろうと考えてこのようなことになっているものの、実際の生徒の能力は幅が非常広い。本当に出来ない生徒もいる一方で出来る生徒も大勢いる。そのような生徒にとってはいらない枷になるわけである。
どの生徒に視点を向けるかによって、過小評価にも過大評価にもなるという点には気をつけたい。出来る生徒に目を向けることで(文脈として過大評価)、出来ない生徒を切り捨てることとなる。公教育である以上、できるだけ多くの生徒を指導しないといけない前提に立つなら、出来ない生徒を助ける方のカリキュラムに回すのは私は納得できる。本当なら一斉授業なんてやめて、生徒のレベルに合わせてそれぞれに合った教育を施した方が良いのでは、と思ったりもするが......。
現在の採点の問題点
以上を踏まえた上で、再び学校の先生の祭典のどこが問題なのかを指摘する。どうやらこの点について、うまく理解できていない人が多いようである。
数学を具体化した際に登場してしまう順番について、主となる方を「○○られる数」、主でない方を「〇〇する数」と対応させることで算数の記法を作っている。実際、非可換演算である引き算や割り算ではこの順番で計算しなければうまく計算できない。しかし、可換演算を非可換演算に無理やり修正した足し算や掛け算ではそれぞれの数字を入れ替えても成り立ってしまう。これは可換演算を非可換演算に修正してしまった際のバグのようなものである。
この入れ替えられた計算には２つの理由が考えられる。１つ目は演算の記法そのものを書き間違えているということ。2つ目は主となる方と主でない方を、模範解答と異なる解釈で選んているということである。
1つ目に関しては記法に対して間違いと言える。3-2が正しいのに2-3と書いているのと同じ感覚で3×2を2×3と書いているということである。主となる方を左に、演算を右にという記法をきちんと書けていないのでペケがつくわけである。なお、可換演算に足しては他の演算と統一した記法を用いないというワンステップだけ複雑な系ではこれは正解となる。順序という概念を必要としていないのだから。その分、掛け算や足し算の場合には入れ替えても正解だけど引き算や割り算では入れ替えたら間違いと2種類が誕生する。
2つ目に関しては文句なく正解である。記法としても間違っていない。ところが、2つ目に対しても1つ目と同様に解釈してペケをつけてしまう採点があるのが現実である。その点について、私はおかしいでしょと思っている。ここが『掛算順番固定至上主義者』と私の違う点である。
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