自然数の足し算、掛け算、大小関係を作る

こんにちは。今回は自然数の集合に和と積を入れて、順序関係を導入しようと思います。

ほんとはZFCの中で自然数と呼べるものを構成するとこから始めようと思ってましたが、そこまでやる気が出なかったので構成はできたことにします。
軽く流れだけ言うとしたら、無限公理によって存在が保障される集合、つまり[$${\varnothing \in A}$$かつ$${{}^\forall x \in A, x \cup \{x\} \in A}$$]を満たすような集合Aをとり、そのべき集合P(A)のうち同様の性質をもつものだけを集め、その共通部分をとれば$${\mathbb{N}}$$の完成です。

まず、自然数とは何ぞや。という問いに答えを与えるペアノの公理を紹介しておきます。

ペアノの公理

$${\fbox{ペアノの公理}}$$
集合$${\mathbb{N}}$$と写像$${S:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}}$$、定数0について、

・$${0 \in \mathbb{N}}$$
・$${{}^\forall x, y \in \mathbb{N}, \hspace{2mm} [S(x)=S(y) \Longrightarrow x=y] (\Leftrightarrow S}$$は単射)
・$${ 0 \notin S(\mathbb{N})}$$
・$${{}^\forall E \subset \mathbb{N}, [0 \in E , {}^\forall n \in \mathbb{N},  n \in E \Rightarrow S(n) \in E] \Longrightarrow E=\mathbb{N}}$$

を満たすとき、$${(\mathbb{N}, S, 0)}$$はペアノ構造と呼ばれ、$${\mathbb{N}}$$の要素を自然数と呼ぶ。

ちょっと言葉は変えてますが意味は同じです。

また、最後の条件がいわゆる数学的帰納法の原理で、
使う際はだいたい、命題P(n）に対し、Eを「P(n)を満たす自然数nの集合」として用いることで、学校で習ったような数学的帰納法の使い方、つまり
「0について命題が成り立ち、$${n\in \mathbb{N}}$$についてもし命題が成り立ったなら$${"n + 1"}$$についても成り立つとすると、すべてのnについて命題が成り立つ」という流れの議論ができます。(注：n+1は和を定義した後なら正しいけど少なくともそれまではS(n)と書くべき )
この記事でもその使い方の帰納法を多用しているので念のため確認しておきます。

ではこの条件を満たすような$${\mathbb{N}}$$に和と積を入れていきましょう。

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回帰定理

和と積の定義をする際に便利な回帰定理を証明しましょう。

$${\fbox{回帰定理}}$$
$${(\mathbb{N}, S, 0)}$$はペアノ構造とし、
$${X}$$を集合、$${x \in X}$$とする。
この時、任意の写像$${g:X \rightarrow X}$$に対し、$${f:\mathbb{N} \rightarrow X}$$が一意に存在して、
$${ f \circ S = g \circ f}$$ かつ$${f(0) = x}$$

を満たす。

定理の主張は、漸化式

$${\left \{ \begin{array}{l} f(0)=x\\ f(S(n)) = g(f(n)) \end{array} \right.}$$

で定まる写像を考えられること、
さらに言うなら、「xに対し、写像gをn回作用させる」写像が作れることです。

では証明しましょう

$${\fbox{存在}}$$

$$
G :=\left\{H \in P(\mathbb{N} \times X) \begin{array}{|l}・(0, x) \in H \\ ・{}^\forall n \in \mathbb{N}, {}^\forall y \in X , [(n, y) \in H \Rightarrow (S(n), g(y)) \in H] \end{array} \right\}
$$

とおきます。
この時明らかに$${\mathbb{N}\times X \in G}$$なので$${G}$$は空ではありません。ここで、

$${f \coloneqq \bigcap{G}  (=\{(n,y) \in \mathbb{N} \times X |  {}^\forall H \in G, (n, y) \in H \}) }$$
としましょう。
これが求める写像であることを見ましょう。

・step1: $${fは写像}$$

示すべきは、任意の$${n\in \mathbb{N}}$$に対し、$${(n, y) \in f}$$となる$${y \in X}$$が一つだけ存在することです。
そうした$${y \in X}$$が存在することは簡単ですね。
$${(0, x) \in f}$$ですし、任意の$${n \in \mathbb{N}}$$に対して、
もし$${(n, y) \in f}$$となる$${y \in X}$$があったとしたら、

$${{}^\forall H \in G, (n, y) \in H  (\because fの定義) \\ \leadsto {}^\forall H \in G, (S(n), g(y)) \in H (\because Gの定義)\\ \leadsto (S(n), g(y)) \in f}$$

となり、帰納法より存在性が示されました。

一意性を示しましょう。
こっちも帰納法でやります。

n=0の時、もし$${y \in X}$$で、$${y \neq x, (0, y) \in f}$$となるものがあったとすると、
$${f \backslash \{(0, y)\} \in G}$$ が成り立ちます。確認してみてね
(ただし$${f \backslash \{(0, y)\}}$$は、$${f}$$から$${(0, y)}$$を取り除いたやつ)

これは、$${f}$$の定義からして起こりえないはずです。（$${f}$$の要素は$${G}$$のどの要素にも含まれてるはず）
ということで、$${(0, y)\in f}$$ となるのはy=0の時だけとわかりました。

$${k \in \mathbb{N}}$$を任意にとり、$${(k, y_k) \in f}$$を満たす$${y_k \in X}$$が一つに定まると仮定します。　この時$${(S(k), g(y_k)) \in f}$$が成り立ちます。
もし、$${z \in X}$$ で、$${z \neq g(y_k), (S(k), z) \in f}$$を満たすものがあったとすると、やはり$${f \backslash \{(S(k), z)\} \in G}$$となり、上の議論と同様に矛盾となります。よって、$${(S(k), z) \in f}$$を満たすのは$${z = g(y_k)}$$の時だけとなります。

これで、任意の自然数$${n}$$について、それが$${f}$$によって対応づけられる$${X}$$の元は一つに定まります。

・step2: $${f}$$は$${ f \circ S = g \circ f}$$ かつ$${f(0) = x}$$を満たす

後は、この写像$${f}$$が要請された条件を達成することを示せばいいですが、ほぼ明らかなので飛ばします。
帰納法も使わずに示せるので気になったらやってみてね

$${\fbox{一意性}}$$
これも帰納法で一発です。

$${f, g : \mathbb{N} \rightarrow X}$$がともに条件を満たすとして、
$${f=g, }$$つまり$${{}^\forall n \in \mathbb{N}, f(n) = g(n)}$$
を示せばOKです。
ほんとに簡単なのでもう飛ばします。

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自然数の和

回帰定理が証明できたので、それを使って自然数同士の和を定義していきましょう。
先に言葉で定義の意味を言っておくと、
n+mは、nの次の数の次の数の・・・（m回）
という意味です。

$${\fbox{定義}}$$
各$${n \in \mathbb{N}}$$に対し、回帰定理より
$${\left \{ \begin{array}{l} f_n(0)= n \\ f_n(S(k))= S(f_n(k))\hspace{3mm} ({}^\forall k \in \mathbb{N}) \end{array} \right.}$$
を満たす$${f_n}$$が一意に存在する。（$${X=\mathbb{N},\hspace{2mm} x =n, \hspace{2mm} g=Sとした}$$）

二項演算"+"を次で定める；
$${n, m \in \mathbb{N}}$$に対し、
$${n + m \coloneqq f_n(m)}$$
で定める。

これで和が定義できましたね。
見かけ上$${n+m}$$と$${m+n}$$は異なるものになりそうですが、ちゃんと一致します。つまりこの演算は交換法則が成り立ちます。交換法則だけでなく、結合法則とかその辺ももちろん成り立ちますし、0は足しても変わらない数です。証明はめんどいから飛ばします。
掛け算のほうも同様に飛ばすつもりですが、両方とも「natural number game」っていうゲームで遊びながら証明できます。英語読まないといけないけど、ググればすぐ遊べるし、面白いからぜひやってみてね

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すぐに証明できる事柄として、

$${1 \coloneqq S(0)}$$として、$${{}^\forall n \in \mathbb{N} S(n) = n + 1}$$

を紹介しましょう。 $${f_n}$$の満たす性質

$$
\left \{ \begin{array}{l} f_n(0)= n \\ f_n(S(k))= S(f_n(k))\hspace{3mm} ({}^\forall k \in \mathbb{N}) \end{array} \right.
$$

の$${k}$$に０を入れればいいですね。

あとは、数学の世界で一番有名な等式"1+1=2"も、2 = S(1)の定義とすぐ上の命題から明らかですね。

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自然数の積

今度は掛け算を定義しましょう。こっちも回帰定理を使って楽しようと思います。こっちの定義も自然で、$${n \times m}$$は、$${n}$$をm個分足すってやつになります。

$${\fbox{定義}}$$
各$${n \in \mathbb{N}}$$に対し、回帰定理より$${\left \{ \begin{array}{l} t_n(0)= 0 \\ t_n(S(k))=n +  t_n(k) \hspace{3mm} ({}^\forall k \in \mathbb{N}) \end{array} \right.}$$を満たす$${t_n}$$が一意に存在する。
（和の定義の時の記号を使って、$${X=\mathbb{N},\hspace{2mm} x =0, \hspace{2mm} g=f_nとした}$$）

二項演算$${"\times"}$$を次で定める；
$${n, m \in \mathbb{N}}$$　に対し、$${n \times m \coloneqq　t_n(m)}$$

和の時と同様に、見かけによらず交換法則や結合法則も成り立ちますし、分配法則も成り立ちます。さらに、0をかけると相手がなんでも０になり、１はかけても変わりません。また、$${n \times m =0}$$なら、$${n, m}$$の一方は０です。
証明は全部略します。

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自然数の大小関係

和と積が定義できたので、あとは順序関係だけ定義しましょう。といっても、定義はめっちゃ単純です

$${\fbox{定義}}$$
$${\mathbb{N}}$$上の順序関係$${\leq}$$を次で定める；
$${n, m\in \mathbb{N}}$$に対し、
$${n \leq m :\Longleftrightarrow {}^\exists k \in \mathbb{N} \hspace{1mm} s.t. \hspace{1mm} m = n + k}$$

足し算の意味も含めて考えると、n の次の数の次の数の・・・・と繰り返していき、mが出てきたら$${n \leq m}$$というわけですね。
もっと言葉で言うなら、$${n \leq m}$$は「$${m}$$は$${n}$$より後の数」といってよさそうですね。

とにかく、ここで定義した"$${\leq}$$"が順序関係であることを確認しましょう。

ここで、証明は帰納法使うだけなので飛ばしますが、順序関係の証明につかう命題をかいておきます。

$${\fbox{命題}}$$
(1)$${{}^\forall a, b, c \in \mathbb{N}, [a + c = b + c \Rightarrow a = b]}$$

(2)$${{}^\forall n, m \in \mathbb{N}, [n + m = 0 \Longrightarrow n = m = 0]}$$

では"$${\leq}$$"が順序関係であることを証明しましょう。
次の①、②、③を示せばOKです。

①$${{}^\forall n \in \mathbb{N}, n \leq n}$$

$${\because n = n + 0}$$なのでOK

②$${{}^\forall n, m \in \mathbb{N} \hspace{3mm}[n \leq m ,\hspace{1mm} m \leq n \Rightarrow n =m]}$$

$${\because}$$
仮定を満たすとき、
$${k_1, k_2 \in \mathbb{N}}$$が存在して、
$${m = n + k_1, \hspace{2mm}n = m + k_2}$$を満たす。
この時、$${m = n + k_1 = (m + k_2) + k_1 \underset{結合法則}{=} m + (k_2 + k_1)}$$
$${\fbox{命題}}$$(1)より$${k_2+k_1=0}$$であり、
$${\fbox{命題}}$$(2)より$${k_1=k_2=0}$$を得る。
$${\leadsto n = m + 0 = m}$$

③$${{}^\forall a, b, c \in \mathbb{N}, \hspace{2mm}[a \leq b, \hspace{1mm}b \leq c \Rightarrow a \leq c]}$$

$${\because}$$
仮定を満たすとき、$${k_1, k_2 \in \mathbb{N}}$$が存在して、
$${b = a + k_1, \hspace{2mm} c = b +k_2}$$を満たす。
この時、$${c = b + k_2 = (a + k_1)+k_2 \underset{結合法則}{=}a + (k_1 + k_2)}$$である。
$${\therefore a \leq c}$$

これで自然数の集合に順序関係を入れることができました。
最後に、この順序関係が全順序、つまり任意の自然数$${n, m}$$に対し
$${n \leq m}$$または $${m \leq n}$$が成り立つことを示します。

この証明のために、また命題を一つ用意します。

$${\fbox{命題}}$$
$${{}^\forall n \in \mathbb{N},  [n \neq 0 \Rightarrow {}^\exists k \in \mathbb{N} \hspace{2mm}n = S(k)]}$$

帰納法で証明します。

n = 0の時、仮定が偽なのでOK
$${k \in \mathbb{N}}$$に対し主張が成り立つと仮定するととき、
$${S(k)}$$についても主張が成り立つことを示すが、これは明らか。
よって任意の自然数$${n}$$に対して
$${n \neq 0 \Rightarrow {}^\exists k \in \mathbb{N} \hspace{2mm}n = S(k)}$$
が成り立つ。

なんかきつねにつままれたような感じですね。
では順序関係の全順序性の証明に移りましょう。$${n}$$についての帰納法で示します。

$${n=0}$$の時、これは明らかですね。任意の$${m\in \mathbb{N}}$$に対し
$${m = 0 + m(\because 帰納法で分かる)}$$　　より$${0 \leq m}$$がわかります。

$${k \in \mathbb{N}}$$について, 任意の$${m \in \mathbb{N}}$$に対し
$${k \leq m}$$または$${m \leq k}$$が成り立つと仮定しましょう。
示すべきは任意の$${m \in \mathbb{N}}$$に対して$${S(k) \leq m}$$または$${m \leq S(k)}$$が成り立つことです。

$${m = 0}$$の時はさっきと同じ議論で$${m \leq S(k)}$$がわかりますね。
$${m \neq 0}$$の時は、上の命題により$${t \in \mathbb{N}}$$で$${m = S(t)}$$となるものが取れます。帰納法の仮定から、
$${k \leq t}$$または$${t \leq k}$$が成り立ちます。

$${k \leq t}$$の時、
$${{}^\exists d \in \mathbb{N} \hspace{2mm} t = k + d}$$が成り立ちますね。
この時、和の可換性より$${t = d + k}$$で、
このとき$${m =S(t) = S(d+k)=d + S(k)\underset{可換}{=} S(k)+d}$$
だから$${S(k) \leq m}$$となります。

$${t \leq k}$$の時も同じ議論で$${m \leq S(k)}$$が得られます。

これで、$${{}^\forall n, m \in \mathbb{N},}$$ $${n \leq m}$$または$${m \leq n}$$
が成り立つことがわかり、順序集合$${(\mathbb{N}, \leq)}$$が全順序集合であることがわかりましたね。

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今回は自然数の集合に対して、普段使っているような足し算、掛け算、それから順序関係を実際に構成してみました。もちろん、これらについて学校で習ったであろうの諸々の性質は成り立ちます。自然数の集合のおかげで整数とか実数体とかが作れるので、自然数の集合にはもう足を向けて寝られませんね。
たぶん次は整数の集合を構成してまた和と積を作るつもりです。
ここまで読んでくれた方はありがとうございました。