確率論と大数の法則

今日も引き続き、本noteの更新をします。今日は、高校時代苦手だった数学寄りの話で、確率と「大数の法則」について書いてみようと思います。

日常扱われる物事の中にも、確率によって生じる事象はたくさんあります。確率についてはほんの触り程度の話にして、主に大数の法則を話題として扱います。

サイコロの出る目の話

サイコロを振る人が、サイコロの出る目を制御することはまず出来ません。こうした偶然起こる事象の頻度のことを確率といいますが、確率と試行回数には色々と関係があります。

6面のサイコロなら、ある目が出る確率は通常「1/6」と表現されます。サイコロを6回振れば、狙った目が一回は出る可能性がある、ということになりますが中々そうはいきません。時と場合によっては50回振っても一回も出ないこともあるかも知れませんし、3回くらい振れば出ることもあり得ます。

ただし、一般的な話としては、試行する回数を増やせば狙った目を得られる可能性は高くなります。

「大数の法則」

いきなりですが、確率的に生じる事象について、試行回数を増やすに従って事象の発生する頻度が理論上の確率に収束していくことを数学の用語で「大数の法則」と言います。

先ほどのサイコロの話で、例えば3回振れば狙った目が出ることもある、といったように少ない試行回数では事象の発生頻度は確率通りにはなりません。これを、例えば1000回といった具合に試行回数を大幅に増やすと、頻度はほぼ1/6になっていきます。

確率論の中ではかなり基本的な定理ですが、日常的には先日お話しした保険商品の設計などに生かされています。保険料を算出する上での、事故や事象の発生頻度を予測する上で、確率論や大数の法則が用いられています。

大数の法則の具体例

6面のサイコロを考えたとき、サイコロの目は [1, 2, 3, 4, 5, 6] の6つです。ここでサイコロの目の「平均」を考えてみることにします。平均は以下で求めることができます。

（1+2+3+4+5+6）/ 6 = 3.5

ここで、サイコロを500回振って出た目の平均を試行回数ごとに計算してみることにします。エクセルでグラフを作成すると次のようになりました。

3.5に収束する出た目の平均

具体的な計算方法は、例えば5回振った時点の平均は、5回目までの出た目の合計を試行回数である「5」で割って計算しています。これを、試行回数500まで順に計算しています。

グラフを見たときに、試行回数が少ない序盤は平均の値が理論上の平均である「3.5」より上下にかなり振れているのが分かると思います。しかし、ちょうど200回目以降から実際に出た目の平均が理論上の平均である「3.5」に徐々に近づいていっていることが見てとれると思います。

まとめ

短いですがまとめます。上記で見たように、偶然によって生じる事象は、試行回数が増えれば増えるほど、発生頻度は理論上の値に収束していきます。言い方を変えると、ある集合の平均を正確に推測したい場合は、母集合に含まれる事象の数をできるだけ多くするのが良い、ということができます。

統計的に何かを調査する場合に、とても参考になる考え方なので、もしお役に立つようであれば嬉しい限りです。

基礎的なことしか書いていませんが、本日は以上です。お粗末でした。