最近解いた数学の問題

$${a,b}$$を正の整数とする。$${\sqrt{2}}$$は$${\dfrac{b}{a}}$$と$${\dfrac{2a+b}{a+b}}$$の間にあることを示せ。

名古屋市立大学（改題）（１）

この問題は、$${({\sqrt{2}}-{\dfrac{b}{a}})({\sqrt{2}}-{\dfrac{2a+b}{a+b}})<0}$$を計算して示すことができますが、今回は別の方法でやってみました。
場合分けをするので、どちらが煩雑かはわかりません。

$${\dfrac{b}{a}=p}$$とおきます。
このとき、$${\dfrac{2a+b}{a+b}=\dfrac{2+p}{1+p}}$$です。
ⅰ）$${p<\dfrac{2+p}{1+p}}$$のとき
$${p}$$は正の有理数であり、$${{1+p}>0}$$ですので、両辺に$${1+p}$$をかけても大小関係はかわりません。
上式を計算すると、$${0<{p}<\sqrt{2}}$$となります。
ここで、$${\dfrac{2+p}{1+p}=1+\dfrac{1}{1+p}}$$ですので、
$${0<{p}<\sqrt{2}}$$より、$${\dfrac{1}{1+p}>\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1}$$となり、$${1+{\dfrac{1}{1+p}}>{\sqrt{2}}}$$となります。
よって、この場合の$${{\dfrac{b}{a}}<{\sqrt{2}}<{\dfrac{2a+b}{a+b}}}$$が示せました。

ⅱ）$${p>{\dfrac{2+p}{1+p}}}$$のとき
同様に計算すると、$${{\sqrt{2}}<{p}}$$となります。
このとき、$${\dfrac{1}{1+p}<\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1}$$ですので、$${1+\dfrac{1}{1+p}<\sqrt{2}}$$です。
よってこの場合も$${\dfrac{b}{a}}$$と$${\dfrac{2a+b}{a+b}}$$の間に$${\sqrt{2}}$$があることが示せました。

ⅲ）$${p=\dfrac{2+p}{1+p}}$$のとき
$${p={\sqrt{2}}}$$となりますが、$${p}$$は正の有理数ですので不適です。

よってⅰ）ⅱ）ⅲ）より、題意が示せました。

本当は２）があるのですが、割愛します。