最近解いた数学の問題～logの問題～

$${0.3<\log_{10}{2}<0.31}$$とする。
１）$${5^{n}>10^{19}}$$を満たす最小の自然数$${n}$$を求めよ。
２）$${5^{m}+4^{m}>10^{19}}$$を満たす最小の自然数$${m}$$を求めよ。

東京大学文系数学2024

１）は基本問題ですね。
$${\log_{10}{5}=\log_{10}{\dfrac{10}{2}}}$$ですので、
$${\log_{10}{\dfrac{10}{2}}=1-\log_{10}{2}}$$、すなわち$${\log_{10}{5}=1-\log_{10}{2}}$$です。
１）の式の両辺を、底を$${10}$$で取ると、
$${m\log_{10}{5}>19}$$
すなわち、$${m(1-\log_{10}{2})>19}$$です。
計算すると、$${0.69<1-\log_{10}{2}<0.7}$$ですから、
$${m>\dfrac{19}{1-\log_{10}{2}}}$$
$${\log_{10}{2}}$$の範囲より、その最小値は$${\dfrac{19}{0.69}=27.5\dotso}$$
ですから、$${m>27.5\dotso}$$
ですので、与式を満たす最小の自然数$${n}$$は$${28}$$となります。

２）ですが、与式の右辺が$${10}$$だったとき、最小の$${m}$$は$${2}$$で、左辺を$${5^n}$$としたときの$${n}$$の結果と変わりません。
右辺が$${100}$$だったとき、題意を満たす$${m}$$は$${3}$$で、これも
左辺を$${5^n}$$としたときの$${n}$$の結果と変わりません。
$${1000}$$まで試しますが、これも１）と２）で値は$${n=m=5}$$です（ここまで細かい計算は省きましたが）。
ここまで試してみると、１）と２）では値が変わらないのではないか、と予測できます。

ここで僕はこう解きました。
まず、$${5^{m}+4^{m}}$$を$${5^m}$$でくくり、底が$${10}$$の対数を取ります。
このとき、$${m(1-\log_{10}{2})+\log_{10}{(1+(\dfrac{4}{5})^{m})}>19}$$
です。
$${\log_{10}{(1+(\dfrac{4}{5})^{m})}}$$において、
$${(\dfrac{4}{5})^m}$$は$${m}$$をどんどん大きくすれば、どんどん$${0}$$に近づいていきます。すなわち、この式は$${\log_{10}{1}=0}$$に近づいていくことがわかります。
また、$${m=1}$$のとき、$${\log_{10}{\dfrac{9}{5}}}$$は$${\dfrac{9}{5}<2}$$ですから、$${0.3\geqq{\log_{10}{\dfrac{9}{5}}}}$$であることがわかります。
なので、$${0.3\geqq{\log_{10}{(1+(\dfrac{4}{5})^{m}})}}$$です。
$${\dfrac{\log_{10}{(1+(\dfrac{4}{5})^{m})}}{1-\log_{10}{2}}}$$は
$${\dfrac{0.3}{0.69}}$$より小さく、なので$${\dfrac{10}{23}}$$より小さいことがわかります。
よって$${\dfrac{10}{23}>\dfrac{\log_{10}{(1+(\dfrac{4}{5})^{m})}}{1-\log_{10}{2}}}$$です。
$${m=28}$$のとき、１）のときの結果より$${27.5\dotso}$$から一番大きい$${\dfrac{10}{23}}$$、すなわち$${0.5}$$より小さいものを減算しても$${27\dotso}$$ですね。
ですから、$${m=28}$$が答えとなります。

解いていてなかなか面白かったです。
この解き方は厳密性には欠けるかもですね。