【完全無料記事】約数に特徴のある数を知っていますか？【高校数学コラム】

こんばんは。とまねぎです。

今回の記事では
約数に着目して
様々な数の特徴についてお話しします。

中学数学の範囲で解説していきますので、
ご安心ください。

今回紹介する数は全部で３つです。
「素数」と「完全数」、
そして「友愛数」ですね。

まずは一番有名な素数から。
素数とは
「１とその数以外に約数をもたない数」
のことです。

例えば、
２について約数を考えてみると
１と２しかありません。

３，５，７，１１なども同様です。
１と、その数自身しか約数がないのです。
こうした数を素数と言います。

では
「１は素数じゃないの？」
と疑問に感じる方も
いらっしゃるかもしれませんが、
１は素数ではありません。

これは、そういう決まりとして
覚えておくと良いです。

ちなみに、
１でも素数でもない数にも
名前がついています。

それは「合成数」という名です。
例えば４や６などですね。

この合成数には
「素数だけのかけ算で表現することができる」
という特徴があります。

例えば４＝２×２とか
６＝２×３ですね。

しかも、かけ算の形にしたとき
その形は１通りしかない。
といった特徴もあります。
※２×３と３×２は同じとみなします。

要するに、素数を使って６を作るためには
２と３のかけ算しかあり得ない。
というわけです。

６＝２×３のような
合成数を素数のかけ算の形に直すことを
「素因数分解」と言います。

この素因数分解は
「その数がどんな数なのか」
分析するのに便利です。

「何の倍数なの？」
「何で割り切れるの？」
といった疑問を解決してくれます。

これに関連して、
計算においても便利です。

例えば1233/137は約分できるのでしょうか？
これはできるんですよ。

1233÷137をわり算のひっ算を使って
計算しても良いのですが、

1233を素因数分解して
1233＝３×３×137としてあげれば
約分できることが分かります。
（ちなみに137は素数です）

中学までの計算において
素因数分解はそこまで有効ではありません。

しかし、高校になって計算が難しくなると
素数に着目して計算を進めた方が楽。
なんてこともあります。

さて、学校では紹介されないであろう
残りの２つを紹介します。
「完全数」と「友愛数」です。

完全数とは
その数自身以外の約数を足すと、
その数になる数のことです。

例えば６は完全数ですね。
６の約数は１，２，３，６です。
このうちの６以外を足すと、
１＋２＋３＝６になります。

次の完全数は28、その次は496です。
珍しい数なのが分かりますね。

一方で友愛数とは
２つの自然数を対象に
その数自身を除いた約数の和が、
互いにもう片方の値と等しくなるような
自然数のことです。

例えば、220と284は友愛数です。
220の約数…1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110,220
284の約数…1,2,4,71,142,284
ですから、
1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110＝284
1＋2＋4＋71＋142＝220
ということで、友愛数となります。

今回は約数に着目して３つの数を紹介しました。
約数以外の視点から見ても
特徴のある数はまだまだあります。
興味のある方は調べてみてください。

素因数分解に関連して、
高校で学習する因数分解について
魂を込めた記事を書きました。

今回紹介した素因数分解の話や
約数や倍数に関連付けて
因数分解を解説していますので
是非ご一読ください。

それでは本日は以上になります。
お相手はとまねぎでした。