三角比の相互関係を簡単に証明してみました。暗記より簡単かもね。【苦手な人集まれ！】
こんにちは。とまねぎです。
皆さん。三角比の勉強、順調ですか？？
まさか…丸暗記してますか？？？？
その暗記、ちょっとストップです！
「三角比」というものが
何を考えているのか分かっていない状態で
暗記しても意味がありません。
皆さんも薄々気付いているはず。
その勉強方法は成果が上がりにくい。
数学は暗記しないといけない
問題もあるけど、まずは
理論を「正しく」理解すること
から始まります。
何でもかんでも暗記しないで。
公式だって、生まれた理由があるはず。
背景を知っておくことも
数学では大切なんです。
数学が「できる」ようになるためには
数学が「分かる」ようになる必要があります。
どちらも欠かせない要素です。
詳しい話はこちらの記事で
解説してますので、参考にしてください。
実践できるようになれば
ガツガツ問題を解けるようになるでしょう。
今までと違った景色が
あなたを待っています。
さて、今回は
「三角比の相互関係」で
紹介される公式を解説します。
前提となる知識を
こちらの記事で解説しています。
三角比についての理解が深まること
間違いなしの記事になってますので、
是非ご一読ください。
本記事で皆さんは
三角比の重要な公式を
丸暗記する必要がなくなります。
だからと言って、問題が
解けるようになるわけではありません。
それはそれで練習が必要ですが、
知識の整理整頓はできるはずです。
紹介する各公式で重要となる
キーワードや考え方も
丁寧に解説していくので
参考にしてみてください。
もちろん今回も
中学校の復習をしながら
解説をしていきますので
安心して読んでくださいね。
それでは、始めましょう。
三角比の相互関係は大したことない
１．三平方の定理の復習
三角比を語る上で欠かせない公式。
それが「三平方の定理」です。
別名「ピタゴラスの定理」とも呼ばれます。
一言で言ってしまうと、
直角三角形の辺の関係式です。
「直角三角形」でなければ
使うことができないので注意しましょう。
公式を日本語訳すると、
「底辺と高さの２乗を足したら
斜辺の２乗になる」
というものです。
一応、証明も載せておきます。
いろいろな証明がありますが、
有名なものを１つ紹介する程度に
留めておきます。
何言ってるか分からない人のための
ちょっとした図解も一緒にどうぞ。
今回はこの三平方の定理が大活躍します。
２．三角比の相互関係の３公式
さて、∠B＝θであり、
斜辺が１の直角三角形を考えます。
このとき、高さはsinθ
底辺はcosθと表現されます。
この直角三角形に
三平方の定理を使いましょう。
すると、三角比において
一番重要と言っても過言ではない
公式が登場します。
これは流石に覚えないとダメです。
でも、覚えるも何も、
三平方の定理を使っただけですからね。
中学校の内容が頭に入っていれば
大した話ではありません。
「三平方の定理なんて覚えてないよ…」
という方も大丈夫。
今、三平方の定理さえ分かれば
追いつけるということです。
さて、注意事項です。
２乗をつける位置に注意しましょう。
例えばsinθ全体を２乗するときは
sinとθの間に小さく２を書きます。
これはコサインや
タンジェントでも同様です。
θの右上に２をつけると
「θだけを２乗している」
という意味になるので注意です。
もう一度、
こちらの三角形に注目です。
この三角形に対して
タンジェントの値を求める
計算をしてみます。
(高さ)/(底辺)というやつです。
すると、これまた
超重要な公式の誕生です。
これは理解しておかないと
話になりません。
でも、この式も大したことなくて、
斜辺が１の直角三角形に
(高さ)/(底辺)を考えただけですからね。
余裕です。
問題は次の公式です。
この公式を導く計算は、
こんな感じです↓
公式を導く手順を
知っておく必要はありません。
圧倒的に、
この２つの公式の方が重要です。
この公式は、
最初に紹介した２つの公式を
合わせてできた公式です。
なので、重要度が最初の２つよりも
ちょっと下がりますね。
本格的に
この公式にお世話になるのは、
数学Ⅲです。
それまでは、
あまり登場しません。
覚えたくないなら
導く手順を理解しましょう。
（高校時代の私は覚えました。笑
今は導き方を覚えています。）
３．90°－θ の三角比
三角比は本当に公式が多い単元です。
これは数学Ⅱの「三角関数」に入っても
変わることはありません。
しかし、ここで紹介する公式は
正直登場頻度が少ないです。
公式を理解するよりも
「どういう特徴があるのか」を
理解しておくことが一番大切でしょう。
同じ△ABCについて考えます。
左は寝ている三角形で
右はそれを起こした三角形です。
左の三角形は左下の角度が30°
右の三角形は左下の角度が60°
寝ている三角形を起こしたら
こんな状況になっているわけです。
それぞれの角度に応じて
三角比を考えると、
次のようになります。
サインとコサインの値が逆になって、
タンジェントの値が逆数になる。
こういった特徴があるんですね。
これを公式にまとめると
こんな感じです。
青枠の式は覚えなくて良いです。
それよりも、
青字で書いてある特徴を
頭に入れておきましょう。
ほとんどの問題が
この特徴を理解するだけで
何とかなると思います。
実際に三角表を見てみると
タンジェントの値は分かりにくいですが、
サインとコサインの値は
入れ替わっていることが分かります。
電卓を使って計算してみると
タンジェントの値も
しっかり逆数の関係になってます。
45°の三角比は特殊です。
45°の相方は45°、
つまり自分自身です。
なので、
サインとコサインの値は同じだし、
タンジェントも１となっています。
１の逆数は１ですからね。
青字の特徴は正しい、というわけです。
公式が一体
どのような意味を表現しているのか。
これを理解することで
数学はグッとハードルが下がります。
是非参考にしてください。
まとめ
今回の記事では、三角比の中でも
超基礎的な公式を解説しました。
何も考えず丸暗記するよりも
知識が整理されたと思います。
数学は意味もなく丸暗記すると
とんでもなく大変です。
既に学んだ知識と関連付けることや
背景まで理解することで
正しく学習を積み重ねていきましょう。
その積み重ねが
皆さんの見える景色を
変えてくれるはずです。
それでは、本日はここまでです。
お相手はとまねぎでした。
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