ピタゴラス数を探す

先日，科学館に行ったら，ピタゴラスの定理の展示があったので，ピタゴラスの定理について，息子と一緒に考えてみた。

僕　「直角三角形って知っている？」
息子「知ってる。三角形のうちで，角がカクってなっているやつでしょ？」
僕　「そうそう。三角形の中で1個の角が縦から真横に曲がる三角形だよね。ピタゴラスの定理は，その直角三角形のことを言っているんだよ。」

僕　「直角三角形の一番長い辺の2乗，2乗は2回かけるってことね。一番長い辺の2乗は，残りの2つの辺を2乗して足したものと等しくなるってことを言っているんだよ。」

僕はグラフ用紙を取り出し，底辺4cm，高さ3cmの直角三角形を書く。

僕　「この三角形の一番長い辺の長さは何cm?」
息子「5cm」

僕　「それじゃ，ピタゴラスの定理が成り立つか確認してみようか。」
僕　「5の2乗は？」
息子「25」
僕　「そうだね。そしたら，3の2乗と4の2乗は？」
息子「9と16」
僕　「そしたら，ピタゴラスの定理の式を書いてみて。」

9+16=25

息子「本当だ。成り立っている！」

僕　「じゃぁ，クイズ。◯^2+△^2=□^2になる◯，△，□に当てはまる数字は，3，4，5以外になにがある？ただし，◯，△，□は1，2，3・・・って数えられる数字じゃないとだめだよ。少数とか分数はだめだよ。」

息子君は，方眼紙に定規を当てて探す。

息子「うーんとね。4^2+8^2=9^2？」
僕　「本当に？計算してみて？」

息子「ししじゅうろく（16）でしょ。はっぱろくじゅうし（64）。16+64=80。くくはちじゅういち（81）だから，駄目だ！」
僕　「ははは（笑）。定規で探すのは難しいかもね。」
息子「うーん，わかんない。」

僕　「それじゃ，宿題にしておこう。暇なとき考えてみて。」

宿題1）◯^2+△^2=□^2になる◯，△，□に当てはまる数字は，3，4，５以外になにがある？
宿題2）◯^2+△^2=□^2になる◯，△，□に当てはまる数字の組み合わせは何個ある？
ただし，◯，△，□は1，2，3・・・って数えられる数字。少数とか分数はだめ。

息子「先生に聞いてみてもいい？」
僕　「いいけど，宿題2は，答えだけじゃなくて，息子君がパパにどうしてか説明できるようにならないとだめだよ。」

無限個あるけど，息子君にはまだ証明は難しいかな。