3の倍数の時アホになるには？

半年以上前だが，息子が掛け算九九の暗記をしていたので，こんな会話をした。

僕　「掛け算九九の秘密を教えてあげようか。」
息子「教えて！！」

"秘密"というと食いつきが良い。

僕　「九の段の1の位と10の位を足してみて。」
息子「9×2=18は1+8で9でしょ，9×3=27は2+7で9・・・，あっ，全部9になっている！」

僕　「そうだね。9の段の1の位と10の位を足すと，全部9になるね。」

息子「他の段はどうなのかな？」
僕　「確かめてみたら？」

　息子は，「えー，めんどくさいー。」といいつつ，ノートに表を書いていった。

僕　「足してみて，10以上になった数があるでしょ？それは，もう1回，1の位と10の位を足してみようか。」

　息子が表を完成させる。

僕　「まとめてみて，何か気がついた？」
息子「えーと，3の段と6の段は，3，6，9の3つしか出てこない。残りの2の段，4の段，5の段，7の段，8の段は全部の数字が出てくるよ。どうしてかなー。」
僕　「どうしてか考えてみたら？」

　実は，1の位と10の位を足すということは，10を1と見なすということである。これは9進数になっていると考えるとわかりやすい。

　息子はn進数を勉強する前だったので（n進数を勉強した時の記事），この図のような9目盛りの円を考え出した。掛け算の九九の円を描くというのを以前やったことがあって，それを応用したらしい。

息子「こうやって，9目盛りの円を描くでしょ，それで，2の段は2目盛りずつ進んでいくの。3の段は3目盛りずつ。そうやってやると，説明できるよ。」
僕　「おお，よく思いついたね。」

僕　「そうしたら，もう少し発展させて考えてみようか。ある数があったときに，その数が2で割り切れるかどうかは，一番下の位が偶数かどうかを調べればいいでしょ？3で割り切れるかどうかは，どうやって調べればいい？いまの考えをもとに考えて見て。」

　ノートにいろいろ書きながら，少し考えたあとで，

息子「わかった。全部の位を足したときに3か6か9になればいいんだ。」
僕　「そうだね。そしたら54549は3で割り切れる？」
息子「割り切れる！」
僕　「正解！」
（ここまでの内容は，だいぶヒントをあげたが，息子が自分で発見したので自由研究としてまとめさせた。）

　この記事のタイトル「3の倍数のときにアホになる」は，お笑い芸人が，数を数えていき，3の倍数のときだけオカシイ顔で数を言う芸から取ったものである。この方法を知っていれば，急に大きな数をフラれても，3の倍数かどうかをすぐに知る事ができ，オカシイ顔で数を言うことができる。

　ところで，この芸が流行ったのは，2004年頃で息子の生まれる6年前ということに驚いている。時がたつのが早い。息子も，すぐに大きくなってしまうんだろうね。うれしくもあり寂しくもある。