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フェルマーの最終定理の外側(n=-1)
$$
\begin{array}{l}
x^{-1}+y^{-1}=z^{-1}\\
\end{array}
$$
を満たす整数の組はあるだろうか。結論から言うと、その整数の組は無数にある。
さて、$${n=-1}$$とせっかく負数も範囲にいれたので、$${x,y,z}$$も整数全体を範囲として考えてみる。
まず、定義か定理かは知らないが、ここでは$${x^{-1}=1/x}$$を認める。つま
フェルマーの最終定理の外側
$$
\begin{array}{l}
〰︎〰︎〰︎フェルマーの最終定理〰︎〰︎〰︎\\
nが3以上の自然数のとき\\
x^n+y^n=z^n\\
を満たす自然数x,y,zは存在しない\\
〰︎〰︎〰︎〰︎〰︎〰︎〰︎〰︎〰︎〰︎〰︎〰︎〰︎〰︎〰︎〰︎\\
\end{array}
$$
だった。
では、$${x,y,z}$$を整数に拡張したら？あるいは$${n＜3}$
三平方の定理の整数解(拡張)
$$
\begin{align*}
&x^2+y^2=z^2&
\end{align*}
$$
を下記のように変形する。(左辺第二項を右辺へ移行して因数分解する)
$$
\begin{align*}
x^2&=z^2-y^2&\\
&=(z+y)(z-y)&\\
&=4\frac{z+y}{2}\frac{z-y}{2}&\\
\end{align*}
$$
$${x}$$が整数であるために
互いに素である場合だけで十分
フェルマーの最終定理の証明を記述した多くの著書においてよくでてくる
$${{\bf x,y}}$$が互いに素であれば・・・
ということについて、一瞬わかったような気になるものの、ちゃんと理解していない気もするので、以下でよく考えてみる。
$$
\begin{align*}
x^n+y^n=z^n\\
\end{align*}
$$
を満たす整数の組$${(n,x,y,z)}$$が存在すると
フェルマーの最終定理（n=4）
（定理）
$$
\begin{array}{}
&{\bf x^4+y^4=z^4}&\\
&{\bf を満たす自然数の組(x,y,z)は存在しない}&\\
\end{array}
$$
（証明）
まず初めに、$${x^4+y^4=z^4}$$を変形して
$$
\begin{align*}
(x^2)^2+(y^2)^2=(z^2)^2\\
\end{align*}
$$
とすれば、この式
三平方の定理(証明)
大きな正方形の面積
= 小さな正方形の面積
+ 4つの直角三角形の面積の総和
以上