大阪府立富田林中学校2020算数（面積と辺の長さ）

大阪府立富田林中学校の2020年度適性検査Ⅲ（算数的問題）より、大問１の（６）、面積から辺の長さを求める問題です。

図の正方形ABCDの面積が425㎠ で、直角三角形ABEの面積が76㎠ のとき、辺AEの長さを求めなさい。

非常にシンプルな図で、少ない情報しか与えられていないのですが、なかなかの難問です。

●解説（まずは途中まで）

まず、以下の左の図のように補助線を引き、直角三角形を４つにします。
すると、４つの直角三角形はすべて合同であることが、右の図で証明できます。

直角三角形ABEに注目すると、角BAE（○印）と角ABE（■印）の和は、「180°− 角AEB（直角）」 なので、90°とわかります。
角BAE+角ABE＝90°
そして、正方形ABCDの角である角ABCも当然90°になるので、
角BAE+角EBC＝90°
よって、
角ABE＝角EBC　となり、順に４つの直角三角形の角の関係わかるので、４つの直角三角形は合同だと決まります。

これによって、内側にできている正方形EFGHの面積が求められます。
425㎠ − 76㎠ × 4 ＝ 121㎠

ここで、正方形の面積が121㎠ であるということから、ある事実に気づくことが必要になります。
それは、11×11＝121なので、正方形EFGHの１辺は11㎝ だということです。

平方数はある程度まで覚えておきましょう。

そして、ここからは考え方が２通りあります。

●その後の考え方①

４つの直角三角形が合同なのは証明済みなので、
辺AEの長さは、「辺BE+11㎝」とも表わせます。

したがって、直角三角形ABEの面積を求める式が、以下のように変形できます。
BE×AE÷2＝76㎠
→BE×(BE+11㎝)÷2＝76㎠
→BE×(BE+11㎝)＝152㎠

「BE」と、「BEに11を足した数」をかけて、「152」になる関係が成り立つような「BE」を探すのですが、１から順に考えても割とすぐ見つかります。
実際は１から始めず、「BEが5だと5×16＝80なので、もっと大きい」とか、「BEが10だと10×21＝210なので、もう少し小さい」とある程度のめどをつけて考え出す方がいいでしょう。

辺BEの長さと直角三角形ABEの面積の関係をまとめると、以下の表のようになります。

よって、辺AEの長さは19㎝と求められました。

●その後の考え方②

もう１つの考え方としては、正方形ABCDのまわりに、直角三角形ABEと合同な直角三角形を４つ並べます。すると、下の図のような正方形になります。

この正方形ＩＪＫＬの面積は、
425㎠ + 76㎠ × 4 ＝ 729㎠　と求められます。

そして、729も平方数であることがカギになります。
27×27＝729 なので、正方形ＩＪＫＬの１辺の長さは27㎝ です。

そして、次の図から、この正方形ＩＪＫＬの１辺ＩＪの長さは、
ＡＨ+ＨＥ+ＢＪ と表せます。さらに、ＡＨとＢＪの長さは等しいので、この正方形ＩＪＫＬの１辺は、11+ＡＨ×２とも表せます。

よって、11+AH×2＝27 から、
AH＝8cm　と求められます。
したがって、辺AEの長さは 8+11＝19cm とわかりました。

●まとめ

考え方①の方は、11×11＝121さえ覚えていれば、直角三角形ABEの面積から答えにたどり着くことができます。
考え方②の方は、27×27＝729を覚えていないと難しいのですが、図形の扱い方・ひらめきとしてはよりスマートです。

どちらも確実に言えることは、「平方数の感覚は鍛えておきましょう」ということです。

それではまた次回。