令和４年度大阪府立富田林中学校 適性検査 解説④
以前の記事に引き続き、2022年1月22日に行われました、大阪府立富田林中学校 令和４年度入学者選抜における、適性検査問題の解説です。
問題と解答のみ大阪府のWebサイトでご覧いただけます。
今回は適性検査Ⅲ（算数的問題）から、大問４の解説を行います。
富田林中の適性検査後半として例年通り長いので、小問ごとに区切って問題・解説を交互に示していきます。
（１）問題
なつさんは、１から連続する（１ずつ大きくなる）整数が一つずつ書かれたカードを使って作業をします。次の（１）・（２）に答えなさい。
（１）なつさんは、次の作業Ⅰについて考えました。あとの①・②の問いに答えなさい。
作業Ⅰ：書かれた数が小さい順になるように左から横１列にカードをならべ、左端のカードから順に右端のカードまで、１枚取り除くことと１枚残すことを交互に行う。
① １から２１までの整数が書かれた２１枚のカードを使って作業Ⅰをし、残るカードを使ってもう一度作業Ⅰをするとき、２回目の作業Ⅰで取り除かれるカードの枚数を求めなさい。
② なつさんは、１から連続する整数が書かれた８枚以上のカードを使って作業Ⅰをくり返すと、どのような数が書かれたカードが残るかについて、気づいたことを次のようにまとめました。
なつさんのまとめ：作業Ⅰをすると２の倍数が書かれたカードが残る。残るカードを使って作業Ⅰをすると４の倍数が書かれたカードが残る。４は、２を２回かけた数である。２回目の作業Ⅰで残るカードを使って作業Ⅰをすると８の倍数が書かれたカードが残る。８は、２を３回かけた数である。
なつさんのまとめを参考に（ⅰ）・（ⅱ）の問いに答えなさい。
（ⅰ） １から２０２２までの整数が書かれた２０２２枚のカードを使って、残るカードが１枚だけになるまで作業Ⅰをくり返すとき、最後の作業Ⅰで残るカードに書かれた数を求めなさい。
（ⅱ） １から「ある整数」までの整数が書かれたカードを使って、残るカードが１枚だけになるまで作業Ⅰをくり返すと、最後の作業Ⅰで残るカードに書かれた数は３２になります。「ある整数」として当てはまる整数は何個ありますか。求めなさい。
（１）①解説
なつさんのまとめにもあるように、作業Ⅰをくり返すたびに残るカードは２の倍数、４の倍数、８の倍数、、、となっていきます。
１回目の作業Ⅰでは２の倍数のカードが残ります。
その後の２回目の作業Ⅰでは、４の倍数のカードが残るので、取り除かれるカードは「２の倍数であるが４の倍数でない整数」となります。
２１までで２の倍数：21÷2＝10あまり1 なので10個
２１までで４の倍数：21÷4＝5あまり1 なので5個
よって、２回目の作業Ⅰで取り除かれるカードは、10-5＝5 ５枚です。
（１）②（ⅰ）解説
作業Ⅰをくり返すたびに、残るカードに書かれた整数がどのような数なのか、以下のように追っていきます。
１回目：２の倍数
２回目：４の倍数
３回目：８の倍数
４回目：１６の倍数
５回目：３２の倍数
６回目：６４の倍数
７回目：１２８の倍数
８回目：２５６の倍数
９回目：５１２の倍数
１０回目：１０２４の倍数
１１回目：２０４８の倍数
カードは２０２２までなので、１１回目で残るカードは無くなってしまいます。つまり、１０回目で残ったカードが最後の１枚です。
したがって、残ったカードは１０２４です。
（１）②（ⅱ）解説
最後に残ったカードが３２になるということは、当たり前ですが３２のカードまでは確実に使われています。
さらに、６４のカードが最後に残らなかったということは、使われたカードは６３までに収まっています。
つまり、「ある整数」として考えられるのは３２から６３までなので、
63−32+1＝32 となり、答えは３２個です。
（２）問題
なつさんは、次の作業Ⅱについて考えました。あとの①・②の問いに答えなさい。
作業Ⅱ 書かれた数が小さい順になるように左から横１列にカードをならべ、左端のカードから順に右端のカードまで、１枚取り除くことと２枚残すことを交互に行う。
① １から３００までの整数が書かれた３００枚のカードを使って１回だけ作業Ⅱをするとき、どのような数が書かれたカードが取り除かれますか。取り除かれるカードに書かれた数に共通する性質を、「あまり」という言葉を使って書きなさい。
② １から３００までの整数が書かれた３００枚のカードを使って作業Ⅱをし、残るカードを使ってもう一度作業Ⅱをするとき、２回目の作業Ⅱで残るカードに書かれた数のうち、小さい方から１００番目の数を求めなさい。
（２）①解説
作業Ⅱを図にすると、以下のようになります。
取り除かれるカードは、１・４・７・１０・１３・・・と続きます。
１から始まり、３ずつ大きくなる数列となるため、これらの数に共通する性質は、「３の倍数+１」と表すことができます。
あとは、「あまり」という言葉を使う指示に従えば、「３で割るとあまりが１になる数」と表現できます。
（２）②解説
作業Ⅱを２回目まで行うとどうなるか、図にまとめます。
２回目で取り除かれるカードは２・６・１１・１５・・・となり、残るカードは３・５・８・９・１２・１４・１７・１８・・・となっています。
ここで、１回目と２回目の図を重ねてみます。
すると、１回目の作業Ⅱで取り除かれるカード、２回目の作業Ⅱで取り除かれるカード、残ったカードの配置に周期性が見えてきます。
上の図のように、９枚ごとに同じ周期になっていて、１周期には４枚ずつカードが残っています。
よって、残ったカードのうち小さい方から１００番目のカードは、
100÷4＝25 となり、ちょうど２５周期したところだと求められます。
９枚で１周期なので、２５周期したところのカードは
9×25＝225 と求められ、答えは２２５だとわかります。
今回で、大阪府立富田林中学校 令和４年度適性検査問題の解説は以上です。
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