大阪府立富田林中学校2019算数（場合の数・道順）

大阪府立富田林中学校の2019年度適性検査Ⅲ（算数的問題）より、大問１の（４）、三角形の頂点をめぐる道順が何通りあるか求める問題です。

下の図の点Ｐを出発して三角形の頂点Ａ、Ｂ、Ｃをまわり、Ｐにもどってくるまわり方を考えます。２つの頂点をまわる場合と３つの頂点をまわる場合をあわせると、全部で何通りのまわり方がありますか。
ただし、同じ線上は二度通らないこととし、Ｐ→Ａ→Ｂ→ＰとＰ→Ｂ→Ａ→Ｐのまわり方は別のものとして考えます。

解説

まず、このような問題では、思いついたものから書き出すのは見落としの原因となるので、必ず規則性を持って考えましょう。

最初はＰ→Ａ、Ｐ→Ｂ、Ｐ→Ｃへと進む３通りがありますが、まずＰ→Ａの場合から考えてみます。
さらにＰ→ＡからＰ→Ａ→Ｂと左回りで進むか、Ｐ→Ａ→Ｃと右回りで進むか、２通りに分かれます。

そしてＰ→Ａ→Ｂと左回りの場合を見ると、以下の図のように、２つの頂点をまわってＰに戻る場合（Ｐ→Ａ→Ｂ→Ｐ）と、３つの頂点をまわってＰに戻る場合（Ｐ→Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｐ）の２通りがあることがわかります。

次にＰ→Ａ→Ｃと右回りの場合でも、２つの頂点をまわってＰに戻る場合（Ｐ→Ａ→Ｃ→Ｐ）と、３つの頂点をまわってＰに戻る場合（Ｐ→Ａ→Ｃ→Ｂ→Ｐ）の２通りがあることがわかります。

最初にＰ→Ａと進んだ場合、以上の４通りあることがわかりました。
分かった部分を樹形図にすると、こうなります。

これがＰ→Ｂの場合、Ｐ→Ｃの場合も同様に４通りずつあるので、樹形図を埋めると以下のように、全部で１２通りとなります。

式で表すと、
①最初にＰから進む先がＡ、Ｂ、Ｃの３通り
②そこから左回りか右回りかの２通り
③２つの頂点をまわる場合と３つの頂点をまわる場合の２通り
をかけ合わせ、
３×２×２＝１２　　１２通り
となります。

必ずしも３つの頂点すべてを回る必要がないので、やみくもに思いついた順に書き出すと、２つの頂点をまわる場合のうちのどれかを見落としかねません。
場合の数の問題は、必ず規則性を持って考えましょう。

大阪府立富田林中学校の適性検査過去問では、場合の数の問題としてこちらも解説がありますので挑戦してみてください。

過去問を解いたら、似たような問題や、同じ分野の問題にも挑戦し、考え方をしっかり身に着けることが大切です。

ではまた次回もご覧ください。