大阪府立富田林中学校2020算数（場合の数・組み合わせ）

大阪府立富田林中学校の2020年度適性検査Ⅲ（算数的問題）より、大問２の（２）、条件に当てはまる数字の配置の組み合わせに関する問題です。

図１のア～オの枠に、１～９の異なる数字を１つずつ書き込みます。ただし、ア～オに入る整数は以下のルールにしたがうものとします。
ルール１：アとイの和と、ウとエの和が、それぞれオと等しい。
ルール２：アに入る整数が、ア～オの中で最も小さい。

①図２のように、オに６が入る組み合わせを１つ答えなさい。
②図３のように、ウに４が入る組み合わせは何通りあるか答えなさい。
③イに３以下の整数が入らない理由を説明しなさい。

●解説 ①

オに６が入るということは、ア+イ=6、ウ+エ=6であるということです。
したがって、1+5=6、2+4＝6という組み合わせが条件を満たす配置を考えます。

ここで、アに入る整数が最も小さいというルール２にしたがえば、アに１が入り、自動的にイに５が入ります。
あとは、２と４の配置が２通りありますので、以下の２通りのうちどちらかを答えれば正解です。

●解説 ②

まず、エに入る数字を考えれば、自動的にオに入る数字が決まります。
そうすれば、あとはア+イ=オ を満たすように、アとイに入る数字を考えれば良くなります。

・エに１を入れる場合
アに入る数字が最も小さいというルール２を満たせなくなるので不適切。

・エに２を入れる場合
オが６となり、①の答えとして考えられたうちの片方１通りになります。

・エに３を入れる場合
オが７となり、アとイの組み合わせは１と６、２と５の２通りになります。

・エに４を入れる場合
異なる整数を入れるという条件があるので、ウに入っている４をエにも入れることはできません。

・エに５を入れる場合
オが９となり、アとイの組み合わせは１と８、２と７、３と６の３通りになります。

・エに６を入れる場合
オに入る数字が10になってしまうので不適切。エに７以上も同様。

よって、答えは全部で６通りとなります。

●解説 ③

イに３以下の数字が入らない理由を文章で説明する問題です。

まず、この図は次のような条件を満たす必要があることが分かっています。
すべて異なる整数ア・イ・ウ・エで、ア+イ=オ、ウ+エ=オ が成り立つ。

そしてア～オは１～９の整数なので、最小の場合を考えると、
ア・イ・ウ・エは、それぞれ１・２・３・４のどれかとなります。
このうち、アが最小でありつつ、ア+イとウ+エが等しくなるのは、
ア＝１、イ＝４ であり、ウとエは２と３のどちらかという場合しかありえません。
よって、イには３以下の整数は入らないことになります。

ちなみに、以下のように場合分けをして考える方法もあります。

・イに１を入れる場合
アに入る数字が最も小さいというルール２を満たせなくなるので不適切。

・イに２を入れる場合
ルール２により、自動的にアは１が入る。
オは1+2=3 となるが、ウ+エ=3 を満たす整数の組み合わせが無いため不適切。

・イに３を入れる場合
アに１を入れると、オは1+3=4 となるが、ウ+エ=4 を満たす整数の組み合わせが無いため不適切。
またアに２を入れると、オは2+3=5 となるが、ウ+エ=5 を満たすためにはアより小さい１をウかエに入れることになるため不適切。

・イに４を入れる場合
アに１を入れると、オは1+4=5 となり、ウ+エ=5 を満たす整数の組み合わせとして2+3＝5、もしくは3+2=5 があり、成り立つ。

よって、イが４以上でないと成り立たないので、イには３以下の整数は入らないことが証明できました。

今回は以上です。
大阪府立富田林中学校は、近年、場合の数の出題がやや目立ちます。

また、こちらの問題も場合分けをして考えることが有効な問題ですので、
参考にしてください。

それではまた次回。

2020年度受検用 公立中高一貫校適性検査問題集 全国版