令和３年度大阪府立富田林中学校 適性検査 解説②

前回に引き続き、大阪府立富田林中学校令和３年度入学者選抜における、適性検査問題の解説です。
今回は適性検査Ⅲ（算数的問題）から、大問２の解説です。

問題と解答は大阪府のWebサイトでご覧いただけます。

令和３年度大阪府立富田林中学校入学者選抜について

問題

1001から2021までの整数が書かれた1021枚のカードを以下の手順によってア～カの箱に分けます。これについて、（１）～（４）の問いに答えなさい。

（１）解説

アの箱に分けられたカードに書かれているうち、最小の整数を求めなさい。

アの箱に分けられるカードとは、3の倍数であり、２の倍数であり、4の倍数であるので、つまり12の倍数です。

1001÷12＝83あまり5 なので、
あまり5ということは、12−5＝7 を足せば12の倍数になります。
よって、1001+7＝1008 がアの箱に分けられる最小の整数です。

（２）解説

次の文は、イの箱に分けられたカードの枚数の求め方を説明したものです。文の（　　）に入る内容を、以下の言葉のうちいくつかを使って答えなさい。
【求め方】1001から2021までの整数のうち、（　　）。

「2の倍数の個数」・「3の倍数の個数」・「4の倍数の個数」・「6の倍数の個数」・「12の倍数の個数」

イの箱に分けられるカードとは、3の倍数であり、2の倍数であるが、4の倍数ではないカードですので、つまり、6の倍数であるが、4の倍数ではないカードです。
また、アの箱に分けられたのは12の倍数であることは（１）でわかっています。そして、12の倍数とは、6の倍数であり、4の倍数でもある整数のことです。

したがって、6の倍数のうち、4の倍数である整数が12の倍数としてアの箱に分けられ、それ以外がイの箱に分けられています。
これにより、イの箱に分けられたカードの枚数は、1001から2021までの整数のうち、「6の倍数の個数から、12の倍数の個数を引く」という方法で求められます。

（３）解説

カの箱に分けられたカードに書かれている整数のうち、5番目に小さい整数を求めなさい。

カの箱に分けられたカードとは、3の倍数ではなく、2の倍数でもないカードです。つまり、3の倍数ではない奇数と言いかえられます。

3の倍数には以下の判定法があるので、それを使うと楽に求められます。
3の倍数：それぞれの位の数の和が3の倍数

これを使いながら、奇数を小さい方から並べます。
1001：1+0+0+1＝2　○1番目に小さい
1003：1+0+0+3＝4　○2番目に小さい
1005：1+0+0+5＝6　×
1007：1+0+0+7＝8　○3番目に小さい
1009：1+0+0+9＝10  ○4番目に小さい
1011：1+0+1+1＝3 　×
1013：1+0+1+3＝5 　○5番目に小さい
よって、カの箱で5番目に小さいのは1013です。

（４）解説

オの箱に分けられたカードの枚数を求めなさい。

オの箱に分けられたカードとは、３の倍数ではなく、２の倍数であるが、４の倍数ではないカードです。
複雑なので、ベン図で表すと、以下の部分だとわかります。

そして、以下の赤い部分が３の倍数であり、２の倍数でもある、つまり６の倍数です。
また、青い部分が３の倍数であり、４の倍数でもある、つまり１２の倍数です。

これらを使って、オの箱に分けられたカードの枚数を求めるためには、以下の式を計算することになります。
２の倍数の個数−６の倍数の個数−４の倍数の個数＋１２の倍数の個数
２の倍数の個数から、６の倍数の個数と４の倍数の個数を引くと、１２の倍数の個数を２回引いてしまうので、１回足しておくということです。

●1001～2021のうちの２の倍数の個数
・1～2021のうちの２の倍数の個数は
2021÷2＝1010あまり1　よって1010個
・1～1001のうちの２の倍数の個数は
1001÷2＝500あまり1　よって500個
・したがって1001～2021のうちの２の倍数の個数は
1010−500＝510個

●1001～2021のうちの６の倍数の個数
・1～2021のうちの６の倍数の個数は
2021÷6＝336あまり5　よって336個
・1～1001のうちの６の倍数の個数は
1001÷6＝166あまり5　よって166個
・したがって1001～2021のうちの６の倍数の個数は
336−166＝170個

●1001～2021のうちの４の倍数の個数
・1～2021のうちの４の倍数の個数は
2021÷4＝505あまり1　よって505個
・1～1001のうちの４の倍数の個数は
1001÷4＝250あまり1　よって250個
・したがって1001～2021のうちの４の倍数の個数は
505−250＝255個

●1001～2021のうちの１２の倍数の個数
・1～2021のうちの１２の倍数の個数は
2021÷12＝168あまり5　よって168個
・1～1001のうちの１２の倍数の個数は
1001÷12＝83あまり5　よって83個
・したがって1001～2021のうちの１２の倍数の個数は
168−83＝85個

以上より、オの箱に分けられたカードの枚数は、
510−170−255＋85＝170 枚 と計算できます。

検査Ⅲ大問２の解説は以上です。