【行間を読む】山本義隆・中村孔一「解析力学I」 pp. 97-98 (外微分と引き戻しの交換可能性)

キーワード

• 外微分

• 引き戻し

• 2形式

• ストークスの定理

該当箇所

他方、2次元曲面$${\mathrm N}$$の上の点はパラメータ$${(x,y)}$$によりパラメータ表示されるから、$${(x,y)}$$平面$${\mathbb{R}^2}$$から$${\mathrm N}$$への写像$${\phi}$$を考え、$${\phi}$$による$${\omega}$$の引き戻しを考えると、(1.6.66)を使い

$$
\sigma:=\phi^\ast\omega=F_i(q(x,y))\left(\dfrac{∂q^i}{∂x}dx+\dfrac{∂q^i}{∂y}dy\right)
$$

$$
\begin{array}{rl}\therefore\quad d\sigma&=d(\phi^\ast\omega)=\left.\dfrac{∂F_i}{∂q^j}\right|_{x,y}\left(\dfrac{∂q^j}{∂x}dx+\dfrac{∂q^j}{∂y}dy\right)\wedge\left(\dfrac{∂q^i}{∂x}dx+\dfrac{∂q^i}{∂y}dy\right)\\&=\left.\dfrac{∂F_i}{∂q^j}\right|_{x,y}\dfrac{∂(q^j,q^i)}{∂(x,y)}dx\wedge dy,\end{array}
$$

他方(1.6.67)より$${d\omega=(∂F_i/∂q^j)dq^j\wedge dq^i}$$に対して

$$
\phi^\ast(d\omega)=\left.\dfrac{∂F_i}{∂q^j}\right|_{x,y}\dfrac{∂(q^j,q^i)}{∂(x,y)}dx\wedge dy,
$$

従って

$$
\phi^\ast(d\omega)=d(\phi^\ast\omega)=d\sigma.
$$

疑問点

• (1.6.67)だと$${i<j}$$でのみ和をとっているが、どう整合性が取れるのか

解説

(1.6.77)直下の式変形

等号1つ目はそのまま代入、2つ目は

$$
\begin{array}{rl}d(\phi^\ast\omega)&=d(\phi^\ast(F_idq^i))\\&=d\left(F_i(q(x,y))\left(\dfrac{∂q^i}{∂x}dx+\dfrac{∂q^i}{∂y}dy\right)\right)\qquad\because(1.6.66)\\&=d\left(F_i(q(x,y))\dfrac{∂q^i}{∂x}\right)\wedge dx+d\left(F_i(q(x,y))\dfrac{∂q^i}{∂y}\right)\wedge dy\\&=\dfrac{∂}{∂y}\left(F_i(q(x,y))\dfrac{∂q^i}{∂x}\right)dy\wedge dx+\dfrac{∂}{∂x}\left(F_i(q(x,y))\dfrac{∂q^i}{∂y}\right)dx\wedge dy
\\&=\left(\left.\dfrac{∂F_i}{∂q^j}\right|_{x,y}\dfrac{∂q^j}{∂y}\dfrac{∂q^i}{∂x}+F_i(q(x,y))\dfrac{∂^2q^i}{∂x∂y}\right)dy\wedge dx+\left(\left.\dfrac{∂F_i}{∂q^j}\right|_{x,y}\dfrac{∂q^j}{∂x}\dfrac{∂q^i}{∂y}+F_i(q(x,y))\dfrac{∂^2q^i}{∂x∂y}\right)dx\wedge dy\\&=\left.\dfrac{∂F_i}{∂q^j}\right|_{x,y}\left(\dfrac{∂q^j}{∂x}\dfrac{∂q^i}{∂y}-\dfrac{∂q^j}{∂y}\dfrac{∂q^i}{∂x}\right)dx\wedge dy\\&=\left.\dfrac{∂F_i}{∂q^j}\right|_{x,y}\left(\dfrac{∂q^j}{∂x}dx+\dfrac{∂q^j}{∂y}dy\right)\wedge\left(\dfrac{∂q^i}{∂x}dx+\dfrac{∂q^i}{∂y}dy\right)\end{array}
$$

で得られる。第3の等号は

$$
\begin{array}{l}\left(\dfrac{∂q^j}{∂x}dx+\dfrac{∂q^j}{∂y}dy\right)\wedge\left(\dfrac{∂q^i}{∂x}dx+\dfrac{∂q^i}{∂y}dy\right)\\=\dfrac{∂q^j}{∂x}\dfrac{∂q^i}{∂y}dx\wedge dy+\dfrac{∂q^j}{∂y}\dfrac{∂q^i}{∂x}dy\wedge dx\\=\left(\dfrac{∂q^j}{∂x}\dfrac{∂q^i}{∂y}-\dfrac{∂q^j}{∂y}\dfrac{∂q^i}{∂x}\right)dx\wedge dy\\=\dfrac{∂(q^j,q^i)}{∂(x,y)}dx\wedge dy\end{array}
$$

より得られる。

(1.6.78)直上の式変形

$$
\begin{array}{rl}\phi^\ast (d\omega)&=\phi^\ast\left[\sum'\left(\dfrac{∂F_i}{∂q^j}-\dfrac{∂F_j}{∂q^i}\right)dq^j\wedge dq^i\right]\qquad\because(1.6.46)\\&=\sum'\left(\dfrac{∂F_i(q(x,y))}{∂q^j}-\dfrac{∂F_j(q(x,y))}{∂q^i}\right)\dfrac{∂(q^i,q^j)}{∂(x,y)}dx\wedge dy\qquad\because(1.6.67)\\&=\left[\sum_{i< j}\dfrac{∂F_i(q(x,y))}{∂q^j}\dfrac{∂(q^i,q^j)}{∂(x,y)}-\sum_{i > j}\dfrac{∂F_i(q(x,y))}{∂q^j}\dfrac{∂(q^j,q^i)}{∂(x,y)}\right]dx\wedge dy\\&=\left(\sum_{i< j}+\sum_{i> j}\right)\dfrac{∂F_i(q(x,y))}{∂q^j}\dfrac{∂(q^i,q^j)}{∂(x,y)}dx\wedge dy\\&=\dfrac{∂F_i(q(x,y))}{∂q^j}\dfrac{∂(q^i,q^j)}{∂(x,y)}dx\wedge dy\end{array}
$$

によって確かめられる。ただし第3の等号で第2項は$${i\leftrightarrow j}$$の入れ替えをおこなった。