ド・モアブルの定理から始める大学数学 ー プロローグ編
どうもまだ高校生です。昨日、楕円の方程式についての備忘録を書いたわけですけれども、最近理解が少し進んできたチェビシェフの多項式とオイラーの公式とド・モアブルの定理と三角関数とマクローリン展開、複素指数関数の関係についてまとめたいと思います。
高校数学の範囲と、大学数学への橋架けのようなものですね。分野で言うと漸化式、三角関数、指数関数、確率分布、複素数(極形式)、微積、微分方程式(大学の範囲)などに当たりますかね。
もっと言えば、複素解析という分野につながるもので、フーリエ級数展開やコーシーリーマンの関係式などにも繋がってくるのですが、それは大学でのお楽しみ。今は高校数学をきちんと学びたい所存です。
なぜこんなことをするかといえば、今勉強しているド・モアブルの定理を深掘りしていったら色々と芋蔓式に数学の点と点が繋がってきてしまってとても面白いからです！ただ、私みたいに要領の良くない人間は、関係性をしっかりと記録して、自分の中に落とし込まないとすぐに忘れてしまいます。よってまた、備忘録です。
これは宣伝ではないのですが(アフィリエイト等ではない。)、最近本屋で読んでみた数学の参考書がとても興味深くて、読み入ってしまいました。その名も「入試数学の掌握」です。知る人ぞ知る超難しい参考書…と聞いていたので、もう一生手に取ることはないだろうなと思っていたんです。しかし読んでみたら面白いのなんのって。数学を解くときの心構えから、同じ問題に対する様々な解法(文部科学省の指定した数学の分野設定を乗り越えて、"数学"を集約してくれている)。そして大学数学へのいざない。(それこそマクローリン展開とかも載っていたり。)
本の表紙に「理Ⅲ、京医、阪医レベルに導く~」などとありますが、私は別に医学部に行きたいわけではありません。数学が好きなのです。もっと数学を勉強したら買おうと思っていたのですが、父に頼んで買ってしまいました。内容は難しくはありますが、挑戦して損はないと思ってます。
また、この記事の内容は、一部こちらの本の中身にも重なるようです。うーむ。こんな記事を書かなくとも、これを買えばよかったり..?いや！自分で自分に落とし込むんだ！ てことで。少し気になるけど今は買いません。
ことわり
公式を並べてみる
さて、今回扱う公式、定理を並べてみます。
オイラーの公式 $${e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)}$$
ド・モアブルの定理 $${( \cos \theta + i \sin \theta )^n = \cos ( n \theta ) + i \sin ( n \theta )}$$
チェビシェフの定理(第一種) $${T_n(x) = \cos(n \arccos(x))}$$
ゼータ関数($${p=2}$$) $${\zeta(2) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}}$$
マクローリン展開 $${f(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2}x^{2}+\dfrac{f^{(3)}(0)}{6}x^{3}+\mathcal{O}(x^{4})}$$
ディリクレ積分 $${\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} dx = \frac{\pi}{2}}$$
留数定理 $${\oint_\Gamma f(z)dz = 2\pi i \sum_k \text{Res}(f, z_k)}$$
$${i^i = e^{-\frac{\pi}{2}}}$$
関係図
冒頭に述べたように、今回はド・モアブルの定理から興味を持ったので、そこから始めます。
sinc関数、ディリクレ積分
↑
ド・モアブル→バーゼル問題(ゼータ関数$${p=2}$$)→留数定理
↓
オイラーの公式、複素指数関数→複素三角関数→($${i^i=}$$実数)
↓ ↓
n倍角の公式、加法定理 $${e^z}$$のマクローリン展開
↓
チェビシェフの多項式
参考文献
一橋大学 講義ノート(指数関数)
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses/nyumonfukuso/1.pdf
京都大学 複素関数論講義ノート
https://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~norihiro.tanahashi/pdf/complex-analysis/note.pdf
東京工業大学/一橋大学 複素関数の基礎のミソ (質＆量が最高)
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses/kansuron.pdf
本編
ド・モアブルの定理とバーゼル問題
バーゼル問題とsinc関数、ディリクレ積分
バーゼル問題と留数定理
あまり詳しくはないのでここは近い将来の自分が書いてくれると思います。
ド・モアブルの定理とオイラーの公式
オイラーの公式と複素指数関数
複素指数関数と複素三角関数
複素三角関数とiのi乗
複素指数関数とマクローリン展開
オイラーの公式とn倍角、加法定理
n倍角とチェビシェフの多項式
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