【番外編】３つ取り出す問題に必要なこと

【問題】　　袋の中に1から9までの数字が1つずつ書かれた9個の球が入っている。この袋の中から1個ずつ3個の球を取り出し，1個目の球の数字をa，2個目の球の数字をb，3個目の球の数字をcとする。ただし，一度取り出した球は袋に戻さない。このとき，次の問いに答えよ。
(1)　3つの数字a，b，cの積abcが奇数になる確率を求めよ。
(2)　a+b+c=9となる確率を求めよ。

日本大学第二高等学校　２０２１

（よくない点）　偶然は３つ起こるので、表は書けない。樹形図も１ページにはおさまらなそうだ。「公式の出番」になるヤツである。

（１）　分母は「１～９の９個の中から３個、順に取り出す」ので$${_9 P_3 =9・8・7}$$。
　分子について。abcが奇数なので、aもbもcもすべて奇数。だから、求める場合の数は「１・３・５・７・９の５個の中から３個、順に取り出す」場合の数ということになり、$${_5 P_3 =5・4・3}$$。
　したがって，求める確率P1は

$${P1 = \dfrac{_5 P_3 }{_9 P_3} = \dfrac{5・4・3}{9・8・7}= \dfrac{5}{42}}$$

（２）　分母は（１）同様。
　分子について。１～９までの異なる３つの数の和が９となる組合せを，小さい順に｛X,Y,Z｝と書き表すとすると、
｛１，２，６｝，｛１，３，５｝，｛２，３，４｝，
　これらをa,b,cに割り振るのは$${_3 P_3 =6}$$通りずつある。
※｛１，２，６｝について、a,b,cの組合せは(a,b,c)=(1,2,6),(1,6,2),(2,1,6),(2,6,1),(6,1,2),(6,2,1)の６通りある。｛１，３，５｝についてもa,b,cの組合せは(a,b,c)=(1,3,5),(1,5,3),(3,1,5),(3,5,1),(5,1,3),(5,3,1)の６通り、｛２，３，４｝についても(a,b,c)=(2,3,4),(2,4,3),(3,2,4),(3,4,2),(4,2,3),(4,3,2)。この３つとも６通りあるよ、ということ。

　したがって、求める確率をP2とすると、

$${P2 = \dfrac{3×6}{9・8・7} = \dfrac{1}{28}}$$