石川県 ｜公立高校入試確率問題2020

　１から６までの目が出る大小２つのさいころと，１から６までの数字が１つずつ書かれた６枚のカードがある。
　このとき，下の(１)，(２)に答えなさい。ただし，２つのさいころはともに，どの目が出ることも同様に確からしいとする。

(１)　図のように，６枚のカードを一列に並べる。大きいさいころを１回投げた後，□の中の規則①にしたがって，カードを操作する。

<規則①>
出た目の数の約数と同じ数字が書かれたカードをすべて取り除く。

　このとき，残っているカードが４枚になるさいころの目をすべて書きなさい。

(２)　図のように，６枚のカードを一列に並べる。大小２つのさいころを同時に１回投げた後，②にしたがって，カードを操作する。

<規則②>
　出た目の数が異なるときは，大小２つのさいころの目と同じ数字が書かれたカードどうしを入れ換える。
　出た目の数が同じときは，何もしない。

　このとき，右端のカードの数字が偶数となる確率を求めなさい。また，その考え方を説明しなさい。説明においては，図や表，式などを用いてよい。

（１）はOK？

１の目→[１]のカードを取り除く→残るのは[２]，[３]，[４]，[５]，[６]の５枚
２の目→[１]，[２]のカードを取り除く→残るのは[３]，[４]，[５]，[６]の４枚
３の目→[１]，[３]のカードを取り除く→残るのは[２]，[４]，[５]，[６]の４枚
４の目→[１]，[２]，[４]のカードを取り除く→残るのは[３]，[５]，[６]の３枚
５の目→[１]，[５]のカードを取り除く→残るのは[２]，[３]，[４]，[６]の４枚
６の目→[１]，[２]，[３]，[６]のカードを取り除く→残るのは[４]，[５]の２枚

つまるところ・・・・

　　　残っているカードが４枚
　　　　↓ということは
　　　取り除くカードが２枚
　　　　↓ということは
　　　出る目の約数の数が２つ　　
　　　　↓ということは
出る目の数は素数！
　ということで、この問題は、１～６の整数のうち、約数が２つだけである数・素数である数はどれですか？　という読み替えても、答えてもいいですね。

（２）は・・・

　まずは表をかいてそれぞれの場合についてどうなっているか、考えてみましょう。それぞれの場合について、規則②にしたがって操作したあとの右端のカードを書き入れておきましょう。

　すべての３６通りのうち、右端が偶数になっているのは３０通りですね。説明するときは表を用いてよい、となっているので、これをそのまま答案にまとめればよいでしょう。

答

（１）２，３，５
（２）　大小のさいころによって出る目のすべての組３６通りを表にして表し、各場合について右端のカードの数字を書き入れると、それ偶数になる場合は表より３０通りであるので，その確率は$${\dfrac{30}{36}=\bm{\dfrac{５}{６}}}$$　と求められる
。

分類　応用❺並べ替える

問題を解いた後に・・・

（２）を表をかかずに、独自列挙すると

　規則②で６のカードが動く場合と動かない場合で考えましょう。
●６が動く場合
　６と「何か」が出る場合ですが、「何か」が６以外の偶数であれば、結局右端にあるのが偶数になります。（２，６）（４，６）（６，２）（６，４）の４通り。
●６が動かない場合
　６は動きませんので、右端にあるのは偶数のままです。そして、これはさらに２つの場合に分けられます。
〇２つの目とも６以外の目　列挙すると（１，１）（１，２）（１，３）（１，４）（１，５）（２，１）（２，２）（２，３）（２，４）（２，５）（３，１）（３，２）（３，３）（３，４）（３，５）（４，１）（４，２）（４，３）（４，４）（４，５）（５，１）（５，２）（５，３）（５，４）（５，５）の２５通り。
〇２つの目がどちらも６の目　つまり（６，６）の１通り。
　全部で合わせて３０通り。

（２）でもう少しカンがよいと・・・

　６と奇数が入れ替わる場合だけが右端が偶数「じゃない」場合ということになります。そういう場合は
（１，６）（３，６）（５，６）（６，１）（６，３）（６，５）の６通り。これ以外の場合は、すべて右端が偶数ですので、残りは３０通り。求める確率は$${\dfrac{30}{36}=\bm{\dfrac{5}{6}}}$$ということになります。
　これを思いつくことができれば、早く計算ができるかな。