三重県｜公立高校入試確率問題2022

　右の図のように、１から $${n}$$までの自然数が順に１つずつ書かれた $${n }$$枚のカードがある。このカードをよくきって１枚取り出すとき、取り出したカードに書かれた自然数を $${a }$$とする。
　このとき、次の各問いに答えなさい。
①　$${n ＝10 }$$のとき，$${\sqrt{a}}$$ が自然数となる確率を求めなさい。
②　$${\dfrac{12}{a}}$$が自然数となる確率が$${\dfrac{1}{2}}$$になるとき，$${n }$$の値をすべて求めなさい。

分類：①融合Ａ２（平方根）、
　②１（偶然１回の確率、数学的確率、確率の意味）★★★

①は瞬答してほしい問題

①の問題を読みかえると、１～１０のうち、$${\sqrt{a}}$$が自然数になるものの個数を求めればよく、これを満たすのは「平方数」１，４，９の３つである。したがって、その確率は$${\bm{\dfrac{3}{10}}}$$

②はどのように考えよう・・・？

　②はこれまでに見なかった問題である。

とりあえずｎ＝１から順番に

　$${n}$$＝１のとき　分母$${a}$$＝１のときのみで、ということでしばらく先まで羅列してみる。

　ここで$${n}$$は自然数なので、表にかいたより大きい可能性もある。しかし、$${n}$$≧12のとき確率の分子は６のままで、$${n}$$が大きくなればなるほど確率$${\dfrac{6}{n}}$$は小さくなる。なので、$${n}$$が13以上になるときには確率が$${\dfrac{1}{2}}$$になることはない。ということは、これ以上の$${n}$$の値について調べることは必要がなく、$${\dfrac{12}{a}}$$が自然数となる確率が$${\dfrac{1}{2}}$$になるときの$${n}$$の値は、10と12の２つである。

問題を解いたあとに・・・

　２０２２年度入試から「新学習指導要領」で確率分野を学習した生徒が受験することになり，入試の内容も新しい傾向が見えるが、各都道府県の問題の中でいちばん「これは！」と思った問題である。②のように分母が可変という問題は目新しいし、なにより分母が無限に大きくなり得るというのは，なかなか数学的な広がりを感じさせる問題である。