減法を説明するための闘い（１）｜Ｇ社の試行錯誤

　加減の説明の方法として、教科書は
パターン１）Ｋｒ社
パターン２）Ｔ社・Ｓ社・Ｄ社・Ｋｙ社・Ｎ社
パターン３）Ｇ社
の３つのパターンに大別できる。
　パターン１では○より△大きい数／小さい数で加減を説明し、Ｔ社に代表されるパターン２では数直線上の矢線の操作で説明する。
　これに対してＧ社は独特の説明をする。

独自の説明をするＧ社

　Ｇ社が正負の数の加減で他の教科書と異なるのは、1つは、減法の答の求め方とその図示である。

弓なりの線はベクトル

１）数直線上の移動を、弓なりの線と途中に囲みでいくつ移動したかを示す符号つき数字で示す。例えば（－5）＋（＋3）の図示は次のようになる。

　他の教科書のようなまっすぐな矢線では示していないが、考え方としてはベクトルである。

本教科書のように代数的構造の要素である数を、1次元のベクトルと解釈してベクトルの世界を構成し、その中で加法や減法を考えることになる。（Ｇ社　教師用指導書より）

　高校の教科書のベクトルとは全く様子が異なる。しかし、ここでは矢線の「ベクトル」を教えたいわけではない。ベクトルの「概念」をつかって整数のの数の加減を教えたい、というわけである。
　数学者のもつ「まっすぐな矢線」というベクトルのイメージを捨て、中学校1年生にあわせた図解表現、ということができるだろう。

加法の力を借りない減法の答えの求め方

　減法の答えの求め方も、独特だ。ひかれる数○がひく数△から見てどちらの向きにどれだけ進んだ位置にあるか、とする。一瞬、飲み込みづらい説明だが、下の例は　（＋1）－（＋4）の計算の図示である。

　＋4から負の方向へ3動くと＋1になるから　（＋1）－（＋4）＝－3　とする。

　a、bがどの位置にきても、a-bの計算結果は「bからaをみる」という点では同じである、このことに着目して2数の差を求めている。（Ｇ社　教師用指導書より）

　この「ｂからａをみる」を減法とするのは、「ａよりｂ小さい数」というパターン１とも、「ａ＋（－ｂ）」とするパターン２とも異なる。
　しかし、この減法の説明には、どうにも違和感が残る。ひとつは、減法として見ると交換法則は成り立たず、残念ながらどちらからどちらを見るのか、混乱を起こしやすい、という点である。

　そしてもうひとつ、本質的なの見込みにくさを指摘することができる。それは「点（座標）から点（座標）をひいて、ベクトル（移動量、変化量）を求める」という操作になっている、ということである。

点から点をひくと、ベクトル（移動量）？

　２種類の加法（と、その逆算の減法）がある。「ベクトル±ベクトル＝ベクトル」と、「点＋ベクトル＝点／点－ベクトル＝点／点－点＝ベクトル」である。Ｇ社でも加法の説明は「ベクトル＋ベクトル」を採用しているが、上記で見たとおり「ｂからａをみる」減法は、「点＋ベクトル＝点」の加法に基づく。
　「点＋ベクトル」とは　地点Ａにいて、$${\vec{b}}$$だけ移動すると点Ｃにいる、という計算で、和は点（座標）である。そして減法として、ベクトルを求めるため、「点Ａ＋ベクトル$${\vec{b}}$$＝点Ｃ」の逆算「点Ｃ－点Ａ＝ベクトル$${\vec{b}}$$」を使っているのである。

もうちょっと直観的な説明をすると、「２時と３時をたす」には意味がないけど、２時から３時間たったら５時になるので「２時と３時間をたす」には意味がある、ということである。そして「５時は２時から見て、３時間後」を「５－２＝３」という式で表す、ということである。

　そういう意味では点を位置ベクトルとを同一視する、というなかなか高度なことをもとめているわけである。これを次のような図で、巧妙に持ち込むのである。時間のたとえで言うと、「０時から２移動するベクトル」「０から＋５移動するベクトル」を「＋２の点（座標）」「＋５の点（座標）」とそれぞれ同一視する，ということである。
　時間のたとえにすると（余計混乱するかも知れないが）０時から２時間たったのが２時で、それからさらに３時間たったら、さいしょから５時間がたっており，それは５時だというわけで「２時間と３時間をたす」と「２時と３時間をたす」を、と積極的にごっちゃにしていこう、というのがＧ社の説明ということになる。

　学習者が素直に受け入れることを期待するしかないポイントとなるだろう。移動の矢印（ベクトル）と、移動の結果（点・座標）が都合よく切り替えができることを、「そういうもんだ」と飲み込んでもらうしかないのである。（なんだか高校のときの位置ベクトルだの自由ベクトルだの、スッキリしなかったような気もする）

パターン１・パターン２も採用していた

　さて、Ｇ社もさいしょからこのような説明モデルではなかった。むしろ、過去の教科書をさかのぼると、パターン１を採用してきた時期、パターン２を採用してきた時期がそれぞれある。

■1957（S32）年版まで　温度計、ハシゴのモデル
■1962（S37）～　数直線上で３大きい＝3右にある数、５小さい＝5左にある数で説明（パターン１と同じ説明。）
■1972（S47）～　数直線上のまっすぐな矢線で示したベクトルの合成と反転（概ねパターン２の説明）
■1993（H5）～　現在の説明方法と図解に。

　こうして、いちばん試行錯誤をして現在の独自の説明方法・図解にたどり着いてきたようにも思える。

ひき算する意味

　さて、Ｔ社・Ｄ社・Ｋｙ社・Ｎ社・Ｋｒ社は、いきなり「次はひき算・減法です」として、減法の式の答の求め方の説明をはじめてしまう。Ｋｒ社以外はベクトルの図をおもむろに反転した図を用意して、こうすると答えが見つかります、とする。
　しかしＧ社とＳ社は、減法の式が立式されるシチュエーションをまず示す。上記の話とも関連するので、続けて述べることにする。

どっちにどれだけ移動したか忘れる人のモデル

　まずは、Ｓ社を見てみる。

　東西に延びる直線の道路を、Ｐ地点からはじめに何ｋｍか進み、そこから東へ２ｋｍすすんだところ、Ｐ地点から東へ５ｋｍの地点に着きました。
　はじめにＰ地点からどちらへ何ｋｍ進んだのでしょう。

　Ｓ社はこのあと、１回目の移動を□ｋｍとして、
□＋（＋２）＝＋５
という式を立て、次のひき算で求める、とする。
□＝（＋５）－（＋２）
　こうしてひき算の式が出来上がる。

　続けてＧ社だ。

　巻末①のカードゲームで、健太さんは２回目が終わったとき＋５の位置にいました。１回目に出たカードが＋２だったとき、２回目に出たカードは何でしょうか。また、１回目に出たカードが－１だったとき、２回目に出たカードは何でしょうか。（２０２１年度版）

　巻末①のカードゲームとは、＋と－の両方にいけるすごろく形式のボードで、サイコロの代わりに＋６から－６まで、０を含めて１３枚のカードをひいて移動を決めるゲームである。
　ここからＧ社は、（１回目の動き）＋（２回目の動き）＝（動いた結果）で、（＋２）＋□＝＋５　になって、□を求めるには
　（＋５）－（＋２）＝□
　（動いた結果）－（１回目の動き）＝（２回目の動き）

　しかしこのシチュエーションはモヤモヤする。「何で２回目に出たカードがわからないのか？」という素朴な疑問が頭をもたげるからである。どうもシチュエーションを不自然に感じて、その分、直感を邪魔するのである。たし算→ひき算のプロセスだけ純粋に注目させたい、というか、そのためどっちにどれだけ動いたか忘れてしまう人工的なシチュエーションになるのである。

弟に追いつきたい兄、というモデル

　実は、Ｇ社のその前の２０１６年度版（とその前の１２年度版）版に掲載されている問題はこれと異なる。問題提示から減法の式に至る説明まで、つなげて引用する。

？　兄、弟の順で１回ずつコマを動かし、兄は＋２、弟は＋５まで動きました。次に兄はどちらの方向にどれだけ動けば弟に追いつくでしょうか。
　？で、兄のコマが２回目に□だけ動いて弟に追いついたとすると、兄のコマの動きについて、次のような加法の式をつくることができる。
　　（＋２）　　＋　　　（□）　　＝　＋５
（１回目の動き）＋（２回目の動き）＝（動いた結果）
　したがって、□にあてはまる数を求めるには、次のようなひき算の式を考えればよい。
　　（＋５）　－　　（＋２）　　＝　□
（動いた結果）－（１回目の動き）＝（２回目の動き）

　なるほど、（１回目の動き）＋（２回目の動き）＝（動いた結果）から（動いた結果）－（１回目の動き）＝（２回目の動き）へと持っていくのは変わらないが、□を求める意味は、さっきの忘れてしまうシチュエーションよりは明白だ。
　兄は弟に追いつきたいのだ。これほど切実な場面はない。そんな切なる感情を持ってこの問題を眺めると、現行版よりもよっぽど感情移入出来るシチュエーションである。

　兄はわたし。ｂにいる私は、ａにいる弟に追いつくためにどうしたらいいか。ａのいる方向にａまでの距離を移動すればよい。それがａ－ｂという式だ。容易に数式から数直線の自分の身を置いて考えることができる。

　しかし現行版では、健太さんが２回目の結果を隠しているだけである。シチュエーションに応じて説明しようとすると、教科書の文章が長くなるからなのか。だから、たし算から（動いた結果）－（１回目の動き）＝（２回目の動き）というひき算にするプロセスだけ抜き出すならば、忘れたり隠していたりする不自然な設定であっても、現行版のように加法の式が単純に導き出せる１回目の動き・２回目の動きとすることに変わってしまったのだろう、と推測する。導入のたし算の式は簡単に導き出せるのではあるのだが、残念ながらひき算する必然性がわかないので、直観的に減法につながらない。

　そう思って、この減法導入の問題を過去Ｇ社の教科書でどうしていたか見ていく、何度か２人の移動の比較と、同じ人が２回続けて移動するときと、「揺れ」ているのである。さかのぼる形で並べてみよう。

２１年度版・・・（先に紹介した）２回目はどちらの方向へどれだけ動いたか。
１６年度版・１２年度版・・・（先に紹介した）兄はどちらの方向へどれだけ動けば弟に追いつくか
０６年度版・・・２回目はどちらの方向へどれだけ動いたか。
０２年度版・９７年度版・・・次にいくつのカードを出せば追いつくか
９３年度版・・・Ａ君はＢ君よりどれだけゴールに近いか

　ひき算をする必然性を実感するためにさいしょに問いを置くのであれば、２人の比較の方が、自分から見た相手、というメンタルモデルが直観的に使いやすいのではないか、と思う。

結局は、教師の好みのモデル・・・

　やはりＧ社は揺れている。そして追い打ちは、指導書の次の文章である。

教育実践の場で用いられるモデルは多種多様である。ベクトルとは別の何らかの増減する量、例えば、収入と支出、東西への移動距離、トランプゲームの得点などがモデルとして用いられている。中学校の教師はそれぞれ、正、負の数の加法、減法の指導では教科書に記述されている指導法にとらわれることなく、自分の得意な方法で指導することが多い。それは教師の好みのモデルがたくさんあることを意味している。

　「教科書を教えよう」「教科書で教えよう」としている指導者への一撃でもあるのだが、かくも正の数・負の数の減法を説明モデルはたくさんあるが、どれも一長一短、メリットデメリットがあり、教師の説明の「クセ」だったり、教え方のスタイルだったりに大きく依存することを表している。この指導書では、それらはすべて「ベクトル」の考え方である、ということを教える側が抑えておく必要がある、ということを言うのだが、教科書上では誰もがなんとか理解できそうな最大公約数的な説明となる、ということである。教科書にあらわれた変遷は、それを探る闘いの歴史であるとも言える。

　続けて、他のパターンの説明方法も見てみることにする。