青森県｜公立高校入試確率問題2020

　右の図は，円周の長さが８cmである円Ｏで，その円周上には円周を８等分した点がある。点Ａはそのうちの１つであり，点Ｐ，Ｑは，点Ａを出発点として次の［操作］にしたがって円周上を移動させた点である。

［操作］
　大小２つのさいころを同時に投げ，大きいさいころの出た目の数を小さいさいころの出た目の数をとする。点Ｐは時計回りに$${x}$$ cm，点Ｑは反時計回りに$${y }$$cmそれぞれ点Ａから移動させる。

ア　$${x=4,y=2}$$となるとき，∠ＰＡＱの大きさを求めなさい。
イ　∠ＰＡＱ＝90°となる確率を求めなさい。

アは，確率ではなく・・・

　$${x=4,y=2}$$のとき、点Ｐ，Ｑの位置はそれぞれ下の図のようになります。

　∠ＰＯＱ＝９０°ですから、∠ＰＡＱはその半分で４５°。確率ではなく，円周角についての理解を試す基礎的な問題になっています。

イは，とりあえず表で

　イについては、次の図のように円周上の各点をＢ～Ｈとして、表をかいて考えてみることにしましょう。ＰとＱが逆回りになることに注意が必要そうです。

　表から、∠ＰＡＱが９０°になるのは、$${(x,y)=(1,3),(2,2),(3,1),(6,6)}$$の４通りですから、条件に合う確率は$${\dfrac{4}{36}=\bm{\dfrac{1}{9}}}$$と求めることができます。

答

ア　45°　　　イ　$${\bm{\dfrac{１}{９}}}$$

問題を解いたあとに・・・

　∠ＰＡＱが９０°になる，ということは、ＰＱがＯを通る場合、つまり上のＡ～ＨでいうとＰとＱの位置の組み合わせが，ＢとＦ、ＧとＣ，ＨとＤになる３つの場合を考えればよいのですが、このときＰとＱは逆回りになるので$${(x,y)=(2,2)}$$でＰがＣ，ＱがＧの位置になる場合だけではなく、$${(x,y)=(6,6)}$$でＰとＱが入れ代わってＰがＧ，ＱがＣの位置になる場合も生じてきます。
　表をかいてすべての場合を列挙してモレ（落ち）がないように考えるのは、面倒かも知れませんが，やはり有効です。