千葉県｜公立高校入試確率問題2022

　大小２つのさいころを同時に１回投げ，大きいさいころの出た目の数を$${ a}$$，小さいさいころの出た目の数を $${b}$$ とする。
　このとき，$${2a + b}$$ の値が素数となる確率を求めなさい。
　ただし，さいころを投げるとき，１から６までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。

分類：１１（代入その１）

表をかこう！

表をかいたら答えが出る基本問題ですね。

答　$${\bm{\dfrac{13}{36}}}$$

　逆に、表をかかずにやろうとすると、ちょっと遠回りになるかもしれません。

迎えに行く

　では、素数という条件からたどってみます。
$${2a+b}$$＝２の場合　〔$${a，b}$$〕の組は存在しない。
$${2a+b}$$＝３の場合　〔１，１〕の１通りのみ。
$${2a+b}$$＝５の場合　〔１，３〕〔２，１〕の２通り
$${2a+b}$$＝７の場合　〔１，５〕〔２，３〕〔３，１〕の３通り
$${2a+b}$$＝１１の場合　〔３，５〕〔４，３〕〔５，１〕の３通り
$${2a+b}$$＝１３の場合　〔４，５〕〔５，３〕〔６，１〕の３通り
$${2a+b}$$＝１７の場合　〔６，５〕の１通り
$${2a+b}$$＝１９以上の場合　〔$${a，b}$$〕の組は存在しない。
１３通りあるので、その確率は$${\dfrac{13}{36}}$$。
これは、表をかいてしまった方が楽だったかも、、、。

表からわかること

表にもう一度注目すると、$${b}$$が偶数のところは$${2a+b}$$が素数にはなっていません。2より大きい素数はすべて奇数だ。ということは、$${2a＋b}$$が素数であるためには、$${b}$$は奇数である必要があります。そこに気づけば、$${b}$$が奇数のときだけ確かめればいいので、計算量は半分で済んだかも、ということに行き着きます。でも、これは結果論。
次、似たような場面に出会ったときに、思いついたらラッキー、と思って自分の発想法の引き出しに入れておきましょう。こういうことがあるから、いろんな問題に当たること、いろんな解き方に触れておくことはとても大切だ、という話になるのです。