ｐ値の導入（の試み）：データの特徴以上に極端な特徴のものが観察される確率の下限値

全確率則：P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|notB)P(notB)
と内分点の公式から、p値の図形的な意味付けが得られます。

入手したデータ（標本）の特徴（実数値で表される）に注目して、ほかにもたくさんのデータを「もし」入手したとしたら、このデータの特徴以上に極端な特徴のものが観察される確率をP(T≧t)という（条件付きでない）確率で表しましょう。すると、P(T≧t)は確率だから0から１の数値であるはずですが、０にいくらでも近づけられるかというと、モデルや帰無仮説H0を固定すると、どうしてもそれ以下には下げられないという下限値が存在します。それがP値なのです。

全確率則　P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|notB)
(P(A)=P(A∧B)+P(A∧notB)と条件付き確率の定義P(A|B):=P(A∧B)/P(B)より示せる）
を利用した導入です。（この導入でP値が理解しやすくなるかは「？」ですが）

また、￢H0がH1である場合（対立仮説が複合仮説の場合）のみを扱っています。

内分点，外分点の公式と証明 | 高校数学の美しい物語 (manabitimes.jp)

P(T≧t)=P(T≧t|H0)P(H0)+P(T≧t|H1)P(H1)
についてP(T≧t|H0)=pとP(T≧t|H1)=qを[m=P(H1):n=P(H0)]に内分する点がP(T≧t)である

P(T≧t)=np+mq(=P(H0)p+P(H1)q)

ことを図示しています

※②はP(T≧t|H1)が正しいです。q値＝P(T≧t|H1)と定義します。
下記の注意点もあります
↓

p値を条件付き確率により定義した場合の注意点は条件の確率が0である場合(p(H0)=0の場合）に、p値が（全確率則においてでないと）定義されなくなってしまう（P(A|B):=P(A∧B)/P(B)はP(B)=0だと0-1の値をもたない）ことですが、これはご指摘の活用上の注意点とはまた別の話でしょうね...

— 高橋泰城（たかはしたいき） (@tweet_taiki) June 11, 2024

尤度の考え方からp値を導入することも可能です
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p値の尤度による導入｜高橋泰城（たかはしたいき） (note.com)