学校の勉強は日常生活の役に立たないと思っている人に贈るクイズ

小学生くらいだとよくわからないけれどとりあえず学校に通っていたみたいな人も多いのかもしれませんが、しっかり自分で物が考えられてその他諸々の興味も増えてきて、勉強の内容も複雑になってきて浮世離れした内容も多くなってくる中学高校にもなると「こんなことをなんで勉強しないといけないのか」と思う/思っていた人も多いのではないかと思います。これに関してはそのうちもう少し詳しく述べるとして、今回は時節柄タイムリーな問題を書き残しておきたいと思います。

N(=MxL)人で集まってZoomで懇親会をやります。全員でおしゃべりするには人数が多すぎるのでBreakout roomを使うことにしました。一部屋M人のbreakout roomをL個作ります。1回で終わらせるとたくさんの人と話せないので何回も部屋替えを行います。ただし、皆様同じ人とは2度話したくないです。任意の二人が同じ部屋に再配置されることなく最大何回部屋替えを行うことができるでしょうか?

4人を2つの部屋に分ける場合は簡単で、3回です。(4C2/2=3。数え上げてもわかる)。筆者の数学の実力だと一般のN,M,Lに対しては簡単にはとけなそうです。誰かわかりますか?分かった方はコメントか何かで教えてください。

帰納的に証明できれば数学オリンピックの国内予選の12番に出てきそうな問題です。「2021人で集まってZoomで懇親会をやります。...」みたいな。ちなみにN=2021は素数ではありませんが、N=MxLを満たすMとLを探すのもちょっと考える必要があります。こちらも考えて見てください。