書記の読書記録#680『複素関数の基礎』

吉田伸生『複素関数の基礎』のレビュー

複素関数の基礎

レビュー

著者は『ルベーグ積分入門』で有名だろうが，本書もまた初学者からステップアップできるような構成となっている。他の入門書に比べると物量は多め，解析学に必要な体力づけにもなる。

もくじ

第1章　複素数
1.1 複素数・複素平面
1.2 複素数列
1.3 関数の極限と連続性
1.4 級数
1.5 べき級数
1.6 複素平面の位相

第2章　初等関数
2.1 指数関数
2.2 双曲・三角関数
2.3 偏角・対数の主枝
2.4 べき乗の主枝
2.5 (★)逆三角関数
2.6 (★)初等関数のリーマン面I

第3章　複素微分
3.1 準備：複素変数関数の偏微分
3.2 複素微分の定義と基本的性質
3.3 逆関数の複素微分
3.4 べき級数の複素微分
3.5 (★)一般二項展開
3.6 コーシー・リーマン方程式I
3.7 (★)コーシー・リーマン方程式II

第4章　コーシーの定理
4.1 曲線に関する用語
4.2 複素線積分
4.3 初等的コーシーの定理
4.4 初等的コーシーの定理を応用した計算例
4.5 原始関数
4.6 星形領域に対するコーシーの定理
4.7 (★)命題4.6.2の証明
4.8 星形領域に対するコーシーの定理を応用した計算例

第5章　正則関数の基本性質
5.1 コーシーの積分表示とテイラー展開
5.2 (★)定理5.1.1証明中の補題の証明
5.3 リューヴィルの定理
5.4 一致の定理
5.5 (★)モレラの定理
5.6 (★)正接・双曲正接のべき級数とベルヌーイ数
5.7 (★)無限積

第6章　孤立特異点
6.1 孤立特異点と留数
6.2 留数定理
6.3 留数定理を応用した計算例
6.4 偏角原理・ルーシェの定理
6.5 (★)開写像定理・逆関数定理・最大値原理
6.6 (★)孤立特異点続論
6.7 (★)ローラン展開
6.8 (★)初等関数のリーマン面II

第7章 (★)一般化されたコーシーの定理
7.1 回転数
7.2 命題7.1.7の証明
7.3 一般化されたコーシーの定理
7.4 一般化された留数定理
7.5 単連結領域に対するコーシーの定理

問の略解

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