書記の読書記録#581『曲線と曲面(改訂版) -微分幾何的アプローチ』

梅原 雅顕，山田 光太郎『曲線と曲面(改訂版) -微分幾何的アプローチ』のレビュー

曲線と曲面(改訂版) -微分幾何的アプローチ

レビュー

微分幾何学の定番の教科書で，小林『曲線と曲面の微分幾何』と共に基礎を固めるのによい。

第3章は多様体の知識が必要，微分幾何学との関係をより簡易にまとめた教科書に千葉『ベクトル解析からの幾何学入門』がある。

曲線と曲面の微分幾何

改訂新版 ベクトル解析からの幾何学入門

もくじ

第1章　曲線
　§1　曲線とは何か
　§2　曲率とフルネの公式
　§3　閉曲線
　§4　うずまき線の幾何
　§5　空間曲線

第2章　曲面
　§6　曲面とは何か
　§7　第一基本形式
　§8　第二基本形式
　§9　主方向・漸近方向
　§10　測地線とガウス-ボンネの定理
　§11　ガウス-ボンネの定理の証明

第3章　多様体論的立場からの曲面論
　§12　微分形式
　§13　ガウス-ボンネの定理（多様体の場合）
　§14　ポアンカレ-ホップの指数定理
　§15　ラプラシアンと等温座標系
　§16　ガウス方程式とコダッチ方程式
　§17　２次元多様体の向きづけと測地三角形分割
　§18　最速降下線としてのサイクロイド

付録 A　本文の補足
　　微分積分学からの準備／常微分方程式の基本定理／ユークリッド空間

付録 B　曲線・曲面からの進んだ話題
　　縮閉線とサイクロイド振り子／卵形線と定幅曲線／第一基本形式と地図／
　　K=0
K
=
0
となる曲面／曲率線座標と漸近線座標／K
K
が一定の曲面と H
H
が一定の曲面との関係／
　　ガウス曲率 K
K
が負で一定の回転面／曲線と曲面に現れる代表的な特異点の判定法／
　　曲面論の基本定理の証明

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