![見出し画像](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/100818616/rectangle_large_type_2_053ad83d50de28e778b55cb7df0c6795.jpeg?width=1200)
書記の読書記録#833『ルベーグ積分講義: ルベーグ積分と面積0の不思議な図形たち』
新井 仁之『ルベーグ積分講義: ルベーグ積分と面積0の不思議な図形たち』のレビュー
レビュー
測度論とルベーグ積分の基本事項を扱う本ではあるが,主流の進め方とは異なり「面積」に比重を置いた構成となっている。ルベーグ積分の違う見方が欲しい場合に適した教科書。
もくじ
第1部 面積とはなにか
第1章 素朴な面積の理論
1 ジョルダンによる面積の定義
2 ジョルダンの意味で面積が測定できない図形
第2章 ルベーグの意味の面積
1 有限の世界と無限の世界
2 ルベーグによる面積の定義
第3章 面積を測定できる図形とルベーグ測度
1 ルベーグ測度の完全加法性
2 どのような図形がルベーグ可測か
3 外測度が∞の図形のルベーグ可測性について
第4章 ルベーグ測度の代数的および幾何的性質
1 ルベーグ可測集合族の代数と等測包
2 ルベーグ測度の平行移動と回転不変性について
第5章 カラテオドリによるルベーグ可測性の特徴づけ
第6章 d 次元ルベーグ測度
第2部 ルベーグ積分
第7章 ルベーグ可測関数
1 ルベーグ可測関数の定義と性質
2 可測関数の単関数による近似
第8章 ルベーグ積分
1 ルベーグ積分の定義
2 「ほとんどすべての点で成り立つ」という考え方
第3部 ルベーグ積分の重要な定理
第9章 ルベーグの収束定理
第10章 ルベーグ積分とLP 空間
1 LP 不等式
2 バナッハ空間とLP 空間
第11章 フビニの定理
1 フビニの定理
2 フビニの定理の応用例
第4部 ルベーグ測度0の不思議な図形とハウスドルフ次元
第12章 無視できない測度0の図形——カントル集合
1 カントル集合
2 カントルの悪魔の階段
3 正方形を埋め尽くすほとんどいたるところ微分可能な曲線
第13章 不思議な測度0の図形——ベシコヴィッチ集合
1 ベシコヴィッチ集合と実解析学
2 ペロンの木によるベシコヴィッチ集合の構成
第14章 ハウスドルフ測度
1 曲線の長さ
2 曲線の長さを測定できる1次元ハウスドルフ測度
3 1次元ハウスドルフ測度では測れない曲線
4 s次元ハウスドルフ外測度
5 Rd 上のs次元ハウスドルフ外測度
第15章 ハウスドルフ次元
1 ハウスドルフ次元
2 さまざまな図形のハウスドルフ次元
3 定理15.6の証明
4 アフィン変換とベシコヴィッチ集合
第16章 発展的なトピックス——掛谷予想とブルガン予想
1 掛谷集合
2 ブルガン予想
付録
A 実数の基本的な性質
B 有界閉集合
C p 進小数
D 可算集合、非可算集合、カントルの定理
E 図形の収束
F ジョルダン可測性の定義について
G ルベーグ積分に関するいくつかの定理
H 抽象的積分論
本記事のもくじはこちら:
学習に必要な本を買います。一覧→ https://www.amazon.co.jp/hz/wishlist/ls/1XI8RCAQIKR94?ref_=wl_share