書記の読書記録#833『ルベーグ積分講義: ルベーグ積分と面積0の不思議な図形たち』

新井 仁之『ルベーグ積分講義: ルベーグ積分と面積0の不思議な図形たち』のレビュー

ルベーグ積分講義: ルベーグ積分と面積0の不思議な図形たち

レビュー

測度論とルベーグ積分の基本事項を扱う本ではあるが，主流の進め方とは異なり「面積」に比重を置いた構成となっている。ルベーグ積分の違う見方が欲しい場合に適した教科書。

もくじ

第１部　面積とはなにか
第１章 素朴な面積の理論
　１　ジョルダンによる面積の定義
　２　ジョルダンの意味で面積が測定できない図形
第２章 ルベーグの意味の面積
　１　有限の世界と無限の世界
　２　ルベーグによる面積の定義
第３章 面積を測定できる図形とルベーグ測度
　１　ルベーグ測度の完全加法性
　２　どのような図形がルベーグ可測か
　３　外測度が∞の図形のルベーグ可測性について
第４章 ルベーグ測度の代数的および幾何的性質
　１　ルベーグ可測集合族の代数と等測包
　２　ルベーグ測度の平行移動と回転不変性について
第５章 カラテオドリによるルベーグ可測性の特徴づけ
第６章 d 次元ルベーグ測度
第２部　ルベーグ積分
第７章 ルベーグ可測関数
　１　ルベーグ可測関数の定義と性質
　２　可測関数の単関数による近似
第８章 ルベーグ積分
　１　ルベーグ積分の定義
　２　「ほとんどすべての点で成り立つ」という考え方
第３部　ルベーグ積分の重要な定理
第９章 ルベーグの収束定理
第10章 ルベーグ積分とＬP 空間
　１　ＬP 不等式
　２　バナッハ空間とＬP 空間
第11章 フビニの定理
　１　フビニの定理
　２　フビニの定理の応用例
第４部　ルベーグ測度0の不思議な図形とハウスドルフ次元
第12章 無視できない測度０の図形——カントル集合
　１　カントル集合
　２　カントルの悪魔の階段
　３　正方形を埋め尽くすほとんどいたるところ微分可能な曲線
第13章 不思議な測度０の図形——ベシコヴィッチ集合
　１　ベシコヴィッチ集合と実解析学
　２　ペロンの木によるベシコヴィッチ集合の構成
第14章 ハウスドルフ測度
　１　曲線の長さ
　２　曲線の長さを測定できる１次元ハウスドルフ測度
　３　１次元ハウスドルフ測度では測れない曲線
　４　s次元ハウスドルフ外測度
　５　Ｒd 上のs次元ハウスドルフ外測度
第15章 ハウスドルフ次元
　１　ハウスドルフ次元
　２　さまざまな図形のハウスドルフ次元
　３　定理15.6の証明
　４　アフィン変換とベシコヴィッチ集合
第16章 発展的なトピックス——掛谷予想とブルガン予想
　１　掛谷集合
　２　ブルガン予想
付録
Ａ　実数の基本的な性質
Ｂ　有界閉集合
Ｃ　p 進小数
Ｄ　可算集合、非可算集合、カントルの定理
Ｅ　図形の収束
Ｆ　ジョルダン可測性の定義について
G ルベーグ積分に関するいくつかの定理
Ｈ　抽象的積分論

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