書記の読書記録#631『ベクトル解析入門: 初歩からテンソルまで』

壁谷 喜継，川上 竜樹『ベクトル解析入門: 初歩からテンソルまで』のレビュー

ベクトル解析入門: 初歩からテンソルまで

レビュー

主に物理学徒に向けた教科書で，ベクトル解析・微分幾何学・テンソル解析などの必要事項が1冊にまとめられている。各分野の本と並行して読むと効果的な本だと思う。

もくじ

基本編：曲線と曲面の微積分

第1章　ベクトルの基礎と内積・外積
1.1　スカラーとベクトル
1.2　内積
1.3　外積

第2章　ベクトル値関数の微積分と曲線・曲面
2.1　ベクトル値関数の微積分
2.2　2次元平面内の曲線
　　2.2.1　2次元のフルネ・セレーの定理
　　2.2.2　4頂点定理
　　2.2.3　フェンヒェルの定理
2.3　3次元空間内の曲線
2.4　曲面の性質
　　2.4.1　様々な曲面の例
　　2.4.2　線素・面素

第3章　スカラー場・ベクトル場と様々な微分
3.1　スカラー場とベクトル場
3.2　方向微分と勾配
3.3　発散・湧き出し
3.4　渦度・回転

第4章　関数の線積分・面積分
4.1　線積分
4.2　面積分
4.3　積分定理

第5章　物理学への応用
5.1　力学
5.2　電磁気学
　　5.2.1　静電場・ガウスの法則
　　5.2.2　磁場と定常電流
　　5.2.3　電流によりつくられる磁場
5.3　その他の物理の場面

発展編：微分幾何学に向けて

第6章　微分形式
6.1　ヤコビ行列式再考
6.2　外積再考
6.3　外微分
6.4　基本形式と外微分形式
6.5　微分形式と構造式
6.6　微分形式の積分

第7章　リーマン計量
7.1　2次元曲面のリーマン計量
7.2　接空間
7.3　共変微分
7.4　測地線
7.5　2点間の最短距離

第8章　テンソル
8.1　共変ベクトル，反変ベクトル
8.2　共変テンソル，混合テンソル，反変テンソル
　　8.2.1　2階の共変テンソル
　　8.2.2　混合テンソル
　　8.2.3　反変テンソル
　　8.2.4　高階のテンソル
　　8.2.5　変数変換からの見方
8.3　クリストッフェルの記号の具体的表示
8.4　一般次元のリーマン計量
8.5　アインシュタインの重力場の方程式

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