書記の読書記録#915『新装版 ルベーグ積分入門 使うための理論と演習』

吉田伸生『新装版 ルベーグ積分入門 使うための理論と演習』のレビュー

レビュー

伊藤『ルベーグ積分』と並んで，本書はルベーグ積分の教科書の定番になるかもしれない。全体的にコンパクトな構成で，1レベル下の参考書と並べるとやりやすい。

もくじ

0 序
　0.1 数に関する記号
　0.2 論理・集合・写像に関する記号
　0.3 リーマン積分からルべーグ積分へ

1　σ-加法族と測度
　1.1 σ-加法族
　1.2 ボレル集合体
　1.3 測度
　1.4 ボレル集合体上のルベーグ測度・スティルチェス測度
　1.5 測度零集合

2 積分の定義と収束定理
　2.1 可測関数
　2.2 可測関数の演算と極限
　2.3 積分の定義
　2.4 収束定理
　2.5 径数付き積分の微分

3 ルベーグ測度
　3.1 測度の完備化
　3.2 ルベーグ測度
　3.3 リーマン積分との関係

4 測度の存在と一意性
　4.1 二つの測度が一致するための条件
　4.2 半加法族と拡張定理
　4.3 (*) 外測度
　4.4 (*) 拡張定理（存在部分）の証明
　4.5 (*) 完備化と外測度

5 フビニの定理
　5.1 積可測空間
　5.2 積測度
　5.3 フビニの定理
　5.4 完備化に対するフビニの定理
　5.5 変数変換公式とその応用

6 Lp-空間
　6.1 Lp-空間
　6.2 Lp-空間の完備性
　6.3 測度収束

7 実解析の基本的道具
　7.1 合成積
　7.2 Rd上の測度の位相正則性
　7.3 C∞-関数のLp-稠密性
　7.4 軟化子
　7.5 多項式近似定理

8 フーリエ級数・フーリエ変換
　8.1 フーリエ級数
　8.2 三角関数によるフーリエ級数
　8.3 L1(Rd) に対するフーリエ変換
　8.4 L2(Rd) に対するフーリエ変換

9 複素測度と有界変動関数
　9.1 複素測度とその変動
　9.2 ジョルダン分解
　9.3 （符号付き）スティルチェス測度

10 複素測度と有界変動関数の微分
　10.1 ラドンーニコディムの定理
　10.2 (*) Lpの双対空間
　10.3 絶対連続性の特徴づけ
　10.4 一般化された微積分の基本公式
　10.5 (*) 複素測度の微分

11 付録
　11.1 集合の濃度
　11.2 ユークリッド空間の位相
　11.3 連続関数・滑らかな関数の拡張
　11.4 距離空間上の測度の位相正則性
　11.5 双対空間とリースの表現定理

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