書記の読書記録#592『曲面とベクトル解析』

小林真平『曲面とベクトル解析』のレビュー

曲面とベクトル解析 NBS (日評ベーシック・シリーズ)

レビュー

前半は初歩的なベクトル解析，後半で微分形式を導入する形式。小林『曲線と曲面の微分幾何学』の後半で微分形式が出てくるが，そのための準備として本書を用いる。

もくじ

第1章 ベクトルと微分積分の基本

1.1 幾何ベクトル
1.2 内積
1.3 外積
1.4 右手系，左手系
1.5 ベクトルの微分・積分
1.6 ベクトルの一次独立性と外積

第2章 曲線

2.1 平面曲線
2.2 弧長パラメータ
2.3 フレネ-セレの公式(平面曲線の場合)
2.4 曲率の意味
2.5 空間曲線
2.6 フレネ-セレの公式(空間曲線の場合)
2.7 空間曲線の捩率の意味
2.8 曲線の長さ

第3章 曲面

3.1 曲面
3.2 曲面の面積
3.3 主曲率とガウス曲率および平均曲率
3.4 基本形式

第4章 ベクトル場とその演算

4.1 ベクトル場とは
4.2 勾配ベクトル場
4.3 ベクトル場の発散
4.4 ベクトル場の回転
4.5 ベクトル場の演算
4.6 ベクトル場の種々の公式

第5章 ベクトル場の積分

5.1 線積分
5.2 面積分
5.3 平面上の積分定理
5.4 空間上の積分定理
5.5 積分定理の証明(特別な領域の場合)

第6章 ベクトル解析と物理学

6.1 スカラーポテンシャルとエネルギー保存則
6.2 ベクトルポテンシャルとビオ-サバールの法則
6.3 質量保存則とガウスの発散定理
6.4 電磁気学のマックスウェルの方程式

第7章 双対空間と微分形式

7.1 ベクトル空間の基底
7.2 ベクトル場のなすベクトル空間
7.3 双対空間
7.4 双対空間と1次微分形式
7.5 2次および3次の微分形式
7.6 微分形式の外積
7.7 双対空間の双対

第8章 外微分とベクトル場

8.1 外微分
8.2 ホッジのスター作用素
8.3 外微分とベクトル場
8.4 ポアンカレの補題
8.5 微分形式によるマックスウェルの方程式

第9章 積分定理の証明

9.1 微分形式の引き戻し
9.2 微分形式の積分
9.3 積分定理の書き換え
9.4 ストークスの定理の証明

第10章 曲面の幾何

10.1 閉曲面のオイラー標数とベクトル場の指数
10.2 ガウス-ボンネの定理とポアンカレ-ホップの指数定理
10.3 定理の証明

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