書記の読書記録#853『加群からはじめる代数学入門 ◇線形代数学から抽象代数学へ』

有木 進『加群からはじめる代数学入門 ◇線形代数学から抽象代数学へ』のレビュー

加群からはじめる代数学入門 ◇線形代数学から抽象代数学へ

レビュー

本書では，加群をベースに体→環→群と伝統的な代数学の教科書と逆の手順で学習していく。一通り代数学を学習した者が振り返りとして用いると効果的。

もくじ

第１章　体上の加群（別名：線形空間またはベクトル空間）
1.1　実線形空間
1.2　体上の線形空間
1.3　基底
1.4　行列と部分空間の表示
1.5　線形写像
1.6　商空間
1.7　線形空間の短完全系列
章末問題

第２章　一変数多項式環上の加群
2.1　環と可換環
2.2　一変数多項式環上の加群
章末問題

第３章　環上の加群
3.1　環準同型と体準同型
3.2　環上の加群と加群準同型
3.3　環上の加群の部分加群と商加群
3.4　自由加群の基底
3.5　加群の可換図式および自由加群の基底変換行列
章末問題

第４章　有理整数環
4.1　最大公約数と拡張ユークリッド互除法
4.2　整数の素因数分解の存在と一意性
4.3　整数成分行列の標準形（Smith 標準形）
4.4　中国剰余定理
4.5　有理整数環上の自由加群の準同型と部分加群・商加群の計算
章末問題

第５章　一変数多項式環上の加群の計算理論
5.1　一変数多項式環のユークリッド互除法
5.2　一変数多項式環の中国剰余定理とSmith標準形
5.3　一変数多項式環上の自由加群の準同型と部分加群・商加群の計算
章末問題

第６章　加群理論の応用
6.1　有限生成加法群の構造定理
6.2　有限加法群の部分群の計算法
6.3　Jordan標準形
6.4　抽象代数学の手法によるJordan標準形の導出
6.5　抽象代数学の手法によるCayley-Hamiltonの定理の証明
6.6　Sylvester方程式
章末問題

第７章　可換群から非可換群へ
7.1　部分群と商群
7.2　群作用
7.3　群と環の関係
章末問題

補充問題（計算ドリル）
あとがき
問題の解答
索引

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