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【高校数学】2次不等式②
1.はじめに
2次不等式について、「解はすべての実数」だったり、「解はなし」だったりする場合ってどういうこと???という方、必見です!
よくわからないけど、パターンを覚えるか、、、そんな必要はありません。図で考えれば、すべて解決します!
![](https://assets.st-note.com/img/1653211216774-3agK2OCjkK.png)
今日は、主にこの4問を解説します。定数項のみが異なりますが、解は全く異なります。
2.(1)(2)の解について
まずは、(1)について
![](https://assets.st-note.com/img/1653211458609-iJPQev1T0B.png)
図で考えなくてもわかる方も、ぜひ図での理解もしましょう。図で理解することが、「解はすべての実数解」「解はなし」の場合の理解につながります。
![](https://assets.st-note.com/img/1653211482018-hEJ2ab6sVB.png?width=1200)
(1)を図で考えるのを詳しく知りたい方は、こちらを先に読んでください。
では、(2)はどうでしょうか?
![](https://assets.st-note.com/img/1653211574124-0ndcQgZLgv.png)
こちらは、(1)と違い、因数分解ができません。その場合は、解の公式を用いれば、解くことができますね。
![](https://assets.st-note.com/img/1653211624843-wzGjoVjfdV.png)
方程式の解の出し方が異なるだけで、不等式の解は(1)と同様に考えることができます。
![](https://assets.st-note.com/img/1653211637854-MlyBr6SjPO.png?width=1200)
3.(3)の解について
では、いよいよ(3)です。
![](https://assets.st-note.com/img/1653211745253-KInLx66xrE.png)
こちらも、(2)と同様に、左辺が因数分解できないので、解の公式を用います。
![](https://assets.st-note.com/img/1653211777508-37zIhT3gvx.png?width=1200)
すると、ルートの中がマイナスになってしまい、実数解が存在しないのですね。ということは、グラフは、x軸とぶつかりません。(1)、(2)では、解が2個だったため、グラフがx軸と2か所でぶつかっていました。
では、解を見てみましょう。
![](https://assets.st-note.com/img/1653211890622-dBy4XGHw5G.png?width=1200)
不等号が>のため、0より大きいので、グラフはx軸より上が対応します。グラフはx軸よりも上にあるため、すべてのxが対応し、すべてのxが解です。
それでは、不等号が異なった場合も見てみましょう。
![](https://assets.st-note.com/img/1653212241885-nwSeCj6SPe.png)
![](https://assets.st-note.com/img/1653212260274-M7tqHPNS6a.png?width=1200)
不等号が<のため、0より小さいので、グラフはx軸より下が対応します。グラフはx軸よりも下にはないため、すべてのxが対応せず、解はなしです。
![](https://assets.st-note.com/img/1653212342748-mEw1droOyI.png?width=1200)
不等号が≧のため、0以上なので、グラフはx軸より上とx軸が対応します。グラフはx軸よりも上にあるため、すべてのxが対応し、すべてのxが解です。
![](https://assets.st-note.com/img/1653212407610-l5BnKCFsDt.png?width=1200)
不等号が≦のため、0以下なので、グラフはx軸より下とx軸が対応します。グラフはx軸よりも下にはなく、x軸にもないため、すべてのxが対応せず、解はなしです。
4.(4)の解について
では、最後に、(4)について考えましょう。
![](https://assets.st-note.com/img/1653212126019-4XvP5tIwra.png)
こちらは、左辺が因数分解できますね。
![](https://assets.st-note.com/img/1653212521555-C2GlEGJ5L8.png?width=1200)
しかし、解が2個ではなく1個のため、グラフはx軸と1か所でぶつかります。では、解を見てみましょう。
![](https://assets.st-note.com/img/1653212599508-wQUNaFLaiY.png?width=1200)
不等号が>のため、0より大きいので、グラフはx軸より上が対応します。グラフはx=2以外の部分は、x軸よりも上にあるため、2以外のすべてのxが対応し、2以外のすべてのxが解です。
それでは、不等号が異なる場合も見てみましょう。
![](https://assets.st-note.com/img/1653212690254-6GEM6jMi0v.png)
![](https://assets.st-note.com/img/1653212705481-AwlOThWe7c.png?width=1200)
不等号が<のため、0より小さいので、グラフはx軸より下が対応します。グラフはx軸よりも下にはないため、すべてのxが対応せずし、解はなしです。
![](https://assets.st-note.com/img/1653212756989-NuNS1a51v0.png?width=1200)
不等号が≧のため、0以上なので、グラフはx軸より上とx軸が対応します。グラフはx軸よりも上とx軸にあるため、すべてのxが対応し、すべてのxが解です。
![](https://assets.st-note.com/img/1653212806455-VECYUPFPJh.png?width=1200)
不等号が≦のため、0以下なので、グラフはx軸より下とx軸が対応します。グラフはx軸よりも下にはないが、x=2の部分はx軸にあるため、x=2のみ対応し、x=2のみが解です。
5.おわりに
なぜ、「解はすべての実数」だったり、「解はなし」だったりする場合があるか、理解できたでしょうか?
図を用いれば、パターンを覚える必要はありません。数学は、考えるからおもしろいのであり、覚えようという感覚ではつまらなくなってしまうと思います。1回1回考えることを大切にしていきましょう。
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