無限

１，２，３，・・・と数えていった先に何があるのかといえば、終わりそのものがない。どこまでも行っても自然数はその次の自然数があるためです。そこで、このことを限りが無いことから通常、「無限」と呼んでいます。

ところで次のような無限もある。

０と１の間（ただし０と１は含まない）にはどれだけの実数があるのかを考えよう。０から１の間にはこの半分の点1/2があるし、今度はまた0と1/2の間に半分の点1/4がある。それでこれをどんどん続けていけば1/2，1/4，1/8，という実数が得られるのだが、それらは常に０よりは大きくて１よりは小さい。よって０と１の間には少なくとも、番号付けができるくらいの無限に多くの実数があることはわかる。

しかし０と１の間のすべての実数を拾い上げようとすると、どうしても番号付けができないくらい多くの量を持っていることもわかる。

実際、もし番号付けできるだけの無限の量だとしたら、それを全部リストアップしてみよう。上から順に１番目の実数、２番目の実数、３番目の実数、・・・という風に、それぞれ何かしらの実数が重複なく、しかも漏れもなく現れるはずである。そしたらそれぞれの実数について、小数展開してみよう。（※注意１）

そして上から順番に小数第１位の数、小数第２位の数、小数第３位の数、・・・という具合に対角線を滑るように０～９の自然数を拾いあげ、そのときに偶数なら１、奇数なら０にして記録していく。

こうして記録して得られた０～９の自然数の列を、整数部分が０の小数展開したものと思えば、これもまた０から１の間の実数ｘである。ということは、さっきリストアップしたものの中に実数ｘはあるはずである。そこで、それをＮ番目にあるとしよう。

リストのＮ番目の小数第Ｎ位を眺めてみよう。これがもし偶数だったら、ｘは１になっているので、１は奇数だから一致しない。一方、奇数だとしても、ｘは０になっているので、０は偶数だから一致しない。

よって実数ｘとリストのＮ番目が等しくない訳であるが、それはＮの決め方と矛盾する。

この矛盾はなぜ起きたかというと、「もし番号付けできるだけの無限の量だとしたら」と仮定したことに起因する。したがって、０から１の間にある実数のすべてを番号付けすることはできない！

（※注意１：小数展開の表記で細かい話だが、例えば0.199999･･･＝0.2000000･･･など、表記に一意性がない。しかし表記のルールとしてどちらかにすると決めてけば以後の議論に問題はない。）

番号付けもできず、しかし無限にあることは間違いないことがわかった。

それで、この無限は自然数の無限とは隔たりがある。集合論では自然数の無限を加算無限（かさんむげん）、あるいは可付番無限（かふばんむげん）とよばれる。それに対して０から１の間にある実数の無限は非加算無限（ひかさんむげん）とよばれる。

数直線を描いたときに、ぽつぽつとある無限が加算無限で、０から１までの間のように、べったりとあるのが非加算無限（注意２）となる。

（※注意２：実はこれを連続無限という。それは実数の全体と完全に１対１対応するためである。）

こうして同じ無限同士にも１対１対応が作れないことを根拠にした違いがあるというのが分かると思います。無限を扱って議論する際は、その点を区別して議論する場面があります。例えば高校数学で「数列の極限」と「函数の極限」がどちらも極限を考える点は同じですが、加算無限としての極限と連続無限での極限とでは対象が違うので、これらを区別して扱っています。