微分

微分も積分も高校生になって習います。

何だか怪しい手続きを経て、函数から新しい函数が得られるのですが、その手続き自体は「微かに分かる」かあるいは、「分かった積り」にはなれます。文字通り、微分・積分ですね。

函数とはインプットに対して、１つのアウトプットが対応する働きをいう。英語ではfunction（機能）というが、日本語では普通は「関数」と習う。もともと英語でのfunctionを中国語で函数(ファンシュー）と音訳したものを日本に輸入した際、「函数」という字を使っていた。しかし明治に漢字の整理が行われたとき、「函」という字が教育用漢字になかったので「関」という字に変わったという。今でも「函館」（はこだて）という字で使っているが、思えばそれ以外で「函」という字を使っている場面はまず見ないのではないでしょうか。functionはブラックボックスになぞらえればまさに「ハコ」なので「関数」より「函数」の方がイメージに合うと思っています。また悪いことに「ｘとｙの関係」というときの「関係」と混乱するから関数は「関係のある数である」という理解になりやすい。

さて、函数ｆがあるとしよう。インプットとなる点ａを固定する。点ａとある程度近い点ｂを任意に取ってくる。この２点ａ、bの函数ｆによるアウトプットが、点ｂを点ａに近づけることでいくらでも近づけることができるならば、その函数は点ａで連続であるという。

ｆが実数から実数への函数であるとしよう。まず点ａを固定する。点ａと点ｂでの函数ｆの「変化の割合」が、点ｂを点ａに近づける時の極限値が存在するとき、この極限値を点ａでの函数ｆの微分係数という。その実数値はｆと点ａによって定まるので、ｆ’（ａ）と書く。

さて点ａに対してｆ’（ａ）という実数が対応した。この対応を函数ｆの定義域（インプットになる範囲）にして、それぞれの点で微分係数が存在するとしよう。この対応により新たな函数が得られたことがわかる。この対応ｘ→ｆ’（ｘ）をｆの導関数といい、その函数をｆ’と書く。

こうして、函数ｆから新たな函数ｆ’を得る手続きが得られ、この手続きをｆの「微分」という。

微分は「変化の割合の極限」という訳です。

なお、実数から実数への函数ｆが微分可能であればｆは連続な函数とわかります。しかしこの逆、つまり、ｆは連続ならば微分可能である、というのは一般には言えません。

日常的な例を考えてみよう。例えば車の運転でのスピードメーターは、そのときの瞬間の速さを表示しています。一定時間の間の進んだ距離が分かれば速さは単位時間あたりに進んだ距離として計算できます。その時間間隔を極限まで短くしていくと、それに応じて進んだ距離もどんどん短くなっていく訳ですが、変化の割合そのものは一定の値に近づきます。その一定の値が「変化の割合の極限」で、つまりこれがその時刻における瞬間の速さであり、それがその時刻での微分係数になっている訳です。

さて、積分については「積和の極限」ということを考えるのですが、またの機会に書きます。