【分解する物語（８）】一意分解条件

簡約条件を満たす可換な単位的半群において、素元は既約元であった。しかし、一般には素元でない既約元がある。今回は既約元分解可能な状況においては、既約元がすべて素元（素元条件）であれば分解の一意性（一意分解条件）が従うことをみよう。そして逆に一意分解条件から素元条件が従うこともみよう。素元性が一意性の根幹部分になっていることがわかる。

さらに一意分解条件とは、零元以外の任意の元が素元の積に分解されるという条件（素元分解条件）に集約される。

今回によってこれまで登場した概念たちの論理的関係が結びついて、可換な単位的半群の分解ついてのひとつの結論を得る。

１．定義

まずはここまでに出て来た条件を思い出し、素元条件、一意分解条件、素元分解条件の３つの条件を新たに定義しよう。

（Ｉ）簡約条件：
可換な単位的半群Ｒにおける零元以外の任意の元ａについて、
　ａｘ＝ａｙ　⇒　ｘ＝ｙ
が成り立つ。（ｘ，ｙはＲの元）

（Ⅱ）約鎖条件：
簡約条件を満たす可換な単位的半群Ｒが、約鎖条件を満たすとは、Ｒの元から成る任意の列（ａ(0)，ａ(1)，ａ(2)，･･･）について、次が成り立つときにいう：
　この列が性質
　　･･･｜ａ(n)｜ａ(n-1)｜･･･｜ａ(2)｜ａ(1)｜ａ(0)
　を持つとき、ある番号Ｎが存在して、Ｎ以上のすべてのｎについて
　　ａ(n)～ａ(n+1)
　となる。

（Ⅱ’）既約元分解可能：
簡約条件を満たす可換な単位的半群Ｒが、既約元分解可能であるとは、Ｒの零元０以外の任意の元が既約元分解されるときにいう。なお、元ａ≠０が既約元分解されるとは、
　ａ＝ｕｐ(1)･･･ｐ(n)
となる可逆元ｕおよび、０個以上の既約元ｐ(1)，･･･，ｐ(n)が存在するときにいう。

以下、追加の定義である。

（Ⅲ）素元条件
簡約条件を満たす可換な単位的半群Ｒが、素元条件を満たすとは、Ｒにおいて既約元と素元が一致するときにいう。

（Ⅳ）一意分解条件
簡約条件を満たす可換な単位的半群Ｒが、一意分解条件を満たすとは、Ｒの元について次の条件を満たすときにいう：
　”零元でないすべての元は既約元分解され、その分解は同伴性と既約元の順序を無視して一意的である”
なお、可逆元は０個の既約元と考えて、可逆元自身も既約元分解されると考える。

（Ⅴ）素元分解条件
　簡約条件を満たす可換な単位的半群Ｒが、素元分解条件を満たすとは、零元以外の任意の元は、可逆元といくつかの素元の積に分解されるときにいう。

２．証明の地図

可換な単位的半群Ｒが（Ⅰ）簡約条件を満たすとする。Ｒにおいて、証明の地図は次のようになる。

・　（Ⅱ）約鎖条件　＋　（Ⅲ）素元条件
　⇒（Ⅱ’）既約元分解可能　＋　（Ⅲ）素元条件　　　（※済）
　⇒（Ⅳ）一意分解条件
　⇒（Ⅱ）約鎖条件　＋　（Ⅲ）素元条件

・　（Ⅱ’）既約元分解可能　＋　（Ⅲ）素元条件　
　⇔（Ⅴ）素元分解条件

※第６回により（Ⅱ）⇒（Ⅱ’）は終わっている。

３．（Ⅱ’）＋（Ⅲ）⇒（Ⅳ）

簡約条件を満たす可換な単位的半群Ｒについて、
（Ⅱ’）既約元分解可能　かつ（Ⅲ）素元条件　⇒（Ⅳ）一意分解条件
が成り立つことを示そう。

これを証明するには、ａの既約元分解が２通りあると仮定して、実はその２通りの既約元分解は、それぞれの既約元から成る集合が同伴の関係で互いに１：１対応していることを示せばよい。

記号の簡単のために、添え字の表現はあえて使わずａの２つの既約元分解を
　ａ＝ｕｐｑｒ･･･＝ｖｘｙｚ･･･　　　　･･･（♠）
とする。ただし、ｕ，ｖは可逆元、ｐ，ｑ，ｒ，･･･，ｘ，ｙ，ｚ，･･･は既約元とする。また、積の表記として「･･･」とあるが、これは有限個の積と考える。

これは同伴”～”を用いれば、
　ｐｑｒ･･･～ｘｙｚ･･･
と表現される。同伴の範囲では可逆元倍の違いを忘れても問題なかった。

このとき、左辺は既約元ｐを含むから、
　ｐ｜ｘｙｚ･･･
である。ここで（Ⅲ）素元条件からｐは素元であり、素元性によってｐは右辺に現れている既約元たちのいずれかを割り切る。つまり、
　ｐ｜ｘ　または　ｐ｜ｙ　または　ｐ｜ｚ　または　･･･
（詳しくは積の長さに関する帰納法で証明される。）

これより、特にｐ｜ｘと仮定しても一般性は失われない。
（ｐ｜ｘでないなら、あるｔ≠ｘで
　　ｐ｜ｔ
　となっているが、積の可換性によりｔを先頭に持って来れば、初めからｔをｘとして考えればよい。）

ところでｘは既約元だからｘの約元ｐはｘと同伴な元であるか、または可逆元である。しかし既約元ｐは可逆元ではないから、必然的にｘと同伴な元でなければならない。つまり、
　ｐ～ｘ
である。

よって、簡約条件によって、
　ｑｒ･･･～ｙｚ･･･
を得る。

こうして、もともとの同伴の意味で等しい２つの既約元分解が、左辺からはｐを、右辺からはｐ～ｘとなるｘを消去して再び２つの既約元分解に関する同伴の意味での等式が得られた：
　ｐｑｒ･･･～ｘｙｚ･･･　⇒　ｑｒ･･･～ｙｚ･･･

以後、この操作を続ければ必然的に
　１～１
となる。なぜなら、もし両辺の既約元の個数が一致していなければ
　１～（既約元の積）
という形を得るから、既約元が可逆元となって矛盾する。

従って、この議論で分かったことは、
　元ａ≠０の２つの既約元分解（♠）について、
　　　ｐｑｒ･･･～ｘｙｚ･･･　
　⇒　両辺の既約元の個数が一致して、
　　　適当に積の順序を入れ替えて対応付ければ
　　　　ｐ～ｘ，ｑ～ｙ，ｒ～ｚ，･･･
　　　を満たす。

これは一意分解条件を示している。

４．（Ⅳ）⇒（Ⅱ）

簡約条件を満たす可換な単位的半群Ｒについて、
　（Ⅳ）一意分解条件　⇒（Ⅱ）約鎖条件
を証明しよう。

Ｒの元の列ａ＝ａ(0)，ａ(1)，･･･が
　･･･｜ａ(n)｜ａ(n-1)｜･･･｜ａ(2)｜ａ(1)｜ａ(0)
となっているとする。一意分解条件からａを既約元分解すると、
　ａ＝ｕｐｑ･･･
となる。ただし、ｕは可逆元、ｐ，ｑ，･･･は既約元とし、積における最後の･･･は有限個の積とする。

各ｎについて、ａ(n)の既約元分解に現れる既約元の個数をN(n)個とする。このとき、ａの約元の列
　ａ(0)，ａ(1)，ａ(2)，･･･
に対して、この順に、
　N(0)≧N(1)≧N(2)≧･･･
という０以上の整数の減少列が得られる。

このことの証明は、一意分解条件における次の補題による：

【補題】
　簡約条件を満たす可換な単位的半群Ｒが一意分解条件を満たすとき、
　　ｘ｜ｙ　⇒　｛ｘの既約元｝⊂｛ｙの既約元｝　（同伴を同一視して）
　である。特に、
　　ｘ｜ｙ　⇒　（ｘの既約元の個数）≦（ｙの既約元の個数）
　である。■

【証明】
　ｘの既約元分解に現れる任意の既約元をｐとすると、
　　ｐ｜ｘ，ｘ｜ｙ
　であるから、
　　ｐ｜ｙ
　である。
　よって、ｙの既約元分解が一意的であるから、ｐはｙの既約元分解に現れる既約元と同伴である。
　従って、ｐは任意だったから、同伴を同一視すれば
　　｛ｘの既約元｝⊂｛ｙの既約元｝
　である。どちらも有限集合であるから、後半は明らか。■

従って、どこかの番号Ｎでこの減少列は
　ｎ≧Ｎのとき、N(n)≧N(n+1)
ということになる。

これは約元の列でみれば実質的に既約元の個数が減らなくなっている状況に相当する。従って、
　ｎ≧Ｎのとき、ａ(n)～ａ(n+1)
である。

よってＲは約鎖条件を満たす。

５．（Ⅳ）⇒（Ⅲ）

簡約条件を満たす可換な単位的半群Ｒについて、
　（Ⅳ）一意分解条件　⇒（Ⅲ）素元条件
を証明しよう。

既約元ｐが
　ｐ｜ａｂ
とする。元ａ，ｂについての一意分解条件、特に既約元分解ができることを使って、
　ａ～ｐ(1)･･･ｐ(m)
　ｂ～ｑ(1)･･･ｑ(n)
（ただし、ｐ(1)，･･･，ｐ(m)，ｑ(1)，･･･，ｑ(n)はそれぞれ既約元でｍ＝０やｎ＝０の場合は、０個の既約元という意味でその場合は右辺は既約元積は１となる。）

この２つ積を取れば、
　ａｂ～ｐ(1)･･･ｐ(m)ｑ(1)･･･ｑ(n)
を得る。

今、ｐ｜ａｂの仮定より、
　ｐ｜ｐ(1)･･･ｐ(m)ｑ(1)･･･ｑ(n)
である。

ここで上の補題によって既約元ｐは
　ｐ(1)･･･ｐ(m)ｑ(1)･･･ｑ(n)
の既約元分解の中に同伴を無視して含まれる。

よって、
　ｐ～ｐ(ｉ)　または　ｐ～ｑ(ｊ)
となるｉ（１≦ｉ≦ｍ）またはｊ（１≦ｊ≦ｎ）が存在する。

このとき、
　ｐ｜ａ　または　ｐ｜ｂ
である。

これでｐは素元であることが示された。

６．（Ⅴ）⇒（Ⅱ’）

簡約条件を満たす可換な単位的半群Ｒについて、
（Ⅴ）素元分解条件　⇒（Ⅱ’）既約元分解可能
を証明しよう。

素元は既約元であった。よって任意の元≠０が素元分解できるなら、それは既約元分解でもあるから直ちにいえる。

７．（Ⅴ）⇒（Ⅲ）

簡約条件を満たす可換な単位的半群Ｒについて、
（Ⅴ）素元分解条件　⇒（Ⅲ）素元条件
を証明しよう。

任意の既約元ｐを持ってきて、ｐを素元分解すると
　ｐ＝ｕｘｙｚ･･･　（ｕは可逆元、ｘ，ｙ，ｚ，･･･は有限個の素元）
となる。

ｐの既約性によって
　ｘ～１　または　ｘ～ｐ
である。

しかし、ｘは素元だからｘ～１ではない。よって、ｘ～ｐである。

従ってｐは素元ｘの可逆元倍に過ぎず、ｐは素元である。

８．（Ⅱ’）＋（Ⅲ）⇒（Ⅴ）

簡約条件を満たす可換な単位的半群Ｒについて、
　（Ⅱ’）既約元分解可能　かつ　（Ⅲ）素元条件　⇒（Ⅴ）素元分解条件　
を証明しよう。

任意の元≠０が（Ⅱ’）より既約元分解され、さらに（Ⅲ）により既約元は素元であれば、その分解は素元分解でもあるから直ちに従う。　

９．結論

以上で一意分解条件について次の同値な条件が得られた：

可換な単位的半群Ｒが（Ⅰ）簡約条件を満たすとき
　　（Ⅱ）約鎖条件　かつ　（Ⅲ）素元条件
　⇔（Ⅱ’）既約元分解可能　かつ　（Ⅲ）素元条件
　⇔（Ⅳ）一意分解条件
　⇔（Ⅴ）素元分解条件

例えば自然数の素因数分解の一意性の証明は、（Ⅱ）約鎖条件と（Ⅲ）素元条件を確認することに帰結する。（Ⅱ）はすぐに確認されるが、（Ⅲ）は少し注意がいる。素数の定義は素元性でなく既約性である。素数の素元性はどのように証明されるだろうか。もう一度自然数の世界に戻ってこのことを調べてみよう。