作用

「あの招き猫を置いたら店が繁盛する」とか、「あの人と一緒にいるとなんだか心がキューってなる」とか、何かの対象ａが別の物事に変化を引き起こすという状況は日常でもよくある話です。「招き猫が売り上げに作用する」、「あの人が私の心に作用する」など、「作用」という概念が生まれます。これは数学でもよく使う言葉です。

ある対象ａが別の対象ｂに作用して対象ｃになったとしよう。ａはｂからｃに変化させた訳です。

今度は、同じ対象ａでも、また別の対象ｂ’に作用して対象ｃ’になったとしよう。ａがｂ’からｃ’に変化させた訳です。

このような状況をまとめると、対象ａを固定したとき、ａがある集合Ｘに作用するというのは、ａが集合Ｘ上の変換として機能することを言っている。つまりａはＸからＸへの写像であると考えられる。

集合ＸからＸへの写像を特にＸ上の変換とよび、Ｘ上の変換全体をＴと置こう。そうすればａのＸへの作用というのは、ａに対してＴの元を対応させることである。

作用する対象ａがいくつかある場合は、それらの集合をＡとし、集合Ａの各元ａが集合Ｘに作用しているとき、集合ＡがＸに作用するという。

その場合、集合Ａの元からＸ上の変換に対応させる写像Ａ→Ｔが決まる。こうして「作用」が定式化された。

次に、「招き猫を大きいものに差し替えたら、店の売り上げもそれに伴って大きくなった」とか、「あの人が私に近いところにいるほど、私の心拍数があがる」とか、作用する対象が変化するにしたがって、それに連動して作用の受ける側も変化する状況があります。

これは、集合Ａに何らかの数学的構造が付帯されている場合で、ＡがＸへその数学的構造と両立するような作用であると考えられる。即ち、Ａの構造とＴの構造がうまく対応付いているような写像Ａ→Ｔである。

「招き猫の大小と、店の売り上げの大小が紐づいている」とか、「あの人と私の距離の大小が、私の心拍数の大小と紐づいている」という具合です。

これを利用して、逆に考えることもできる。

「店の売り上げが上がったということは、招き猫の大きさが大きくなったからではないか？」とか、「私の心拍数が上がっているということは、もしかして私はあの人と近いところにいるのではないか。」というのは、いわゆる論理的には「逆」を考えているわけだが、逆を考えることで、作用するもと方を知る手がかりになる。

このように、逆も正しいというときは作用が忠実であるという。即ち、写像Ａ→Ｔが１対１に対応している場合を意味する。このとき、ＡはＸに忠実に作用するという訳です。

付帯された構造を保ち、かつ忠実な作用であれば、Ａを知ることは、Ｔ（つまりＸ上の変換全体）を調べることに帰着する。

「招き猫の大小＝店の売り上げ」、「あの人＝私の心拍数」という具合で、何やら大胆な結論ですが忠実な作用であるなら、そうなりますね。

小説などを読んでいて、文学的表現で何か比喩されているときは、このような状況ではないでしょうか。実際は完璧に忠実であることは少ないですが、定式化してみると面白いですね。