【分解する物語（３）】簡約条件

ここで自然数の素因数分解を実行する１つの機械的な手続きを見直し、手続きを可能にする条件を考えよう。その１つが「簡約条件」という性質を導く。次に一般の可換な単位的半群にも、そのような条件が既に付帯されているかどうかを考えよう。

１．素因数分解の手続き

与えられた自然数を素因数分解する１つの機械的な手続きとして、素数で割っていくという方法がある。まずその数を割り切る素数で割って商を得る。以後その商を割り切る素数で割っていき、商が１になるまでこれを続ける。そして割った素数すべてにわたり積を取れば、もとの数の素因数分解が得られる。

例えば１２を素因数分解するときは
　１２を素数２で割ると商は６
　６を素数２で割ると商は３
　３を素数３で割ると商は１
よって、
　１２＝２×２×３
と素因数分解が完了する。

他の自然数でも同様にすれば素因数分解は遅かれ早かれ得られる。

２．分解した破片ともう片方の破片

１２を割り切る素数で割っても、当然得られる商はただ一通りである。即ち、
　ａ｜１２のとき、１２＝ａ×ｂとなるｂはただ一通りである
ということが成り立っている。

「ａが決まればｂが決まる」ということだから、日常的に言えば分解した破片ａが一つ見つかれば、もう片方の破片ｂも自動的に決まるということである。

そして与えられた数が１２でなくても、この命題は任意の自然数について成り立っている：
　ｃを任意の自然数とする。
　ａ｜ｃのとき、ｃ＝ａ×ｂとなるｂはただ一通りである

これの見方を変えよう。自然数ａの倍数は、自然数ｘを使って、
　ａ×ｘ
という形で書かれる。例えば２の倍数は、
　２×１，２×２，２×３，２×４，２×５，･･･
となる。そして、上の事実はこれらの数は「すべて異なっている」ということである。

これは自然数ｘを自然数ａ×ｘに対応させる写像（これをａ倍写像という）が単射（１対１）であることを意味する。すなわち、
　ｘ≠ｙ　⇒　ａ×ｘ≠ａ×ｙ
である。あるいは対偶を取って、
　ａ×ｘ＝ａ×ｙ　⇒　ｘ＝ｙ
となる。

自然数や整数の世界には任意の２数について除法（割り算）が定義されない。余りが０でない場合があるためである。上のような等式の変形が可能になるのは、両辺を「同じ数で割っても等式は保たれる」という事実から従うのではなく、０以外の任意のａで「ａ倍写像が単射」であることから従う。

３．簡約条件

さて一般の可換な単位的半群Ｒにもこのような性質は既にあるのだろうか。即ち、可換な単位的半群Ｒが次の簡約条件という性質をもつことは証明できるだろうか。

（Ｉ）簡約条件：
Ｒにおける零元０以外の任意の元ａについて、
　ａｘ＝ａｙ　⇒　ｘ＝ｙ
が成り立つ。

「零元０以外」と条件があるのは相異なる元ｘ，ｙについて
　０・ｘ＝０・ｙ
が常に成り立つので、０倍写像は単射でないことがわかるからである。

一般の可換な単位的半群Ｒから、このような性質は導かれないことを確認するには、そのような性質を持っていないような可換な単位的半群の例が存在することを示せばよい。主張の成り立たないような例のことを反例という。

４．簡約条件を満たさない例

反例として次のようなものがある。

集合Ａ＝｛１，２，３｝を固定し、ＲをＡの部分集合すべての集合（これをＡのベキ集合という）とする。Ｒにおける２項演算として、集合の共通部分をとる操作∩を考える。このとき、（Ｒ，∩）が可換な単位的半群となり、空集合ΦがＲの零元であることがわかる。今、
　ａ＝｛１｝
とおく。
　ｂ＝｛１，２｝，ｃ＝｛１，３｝
とすると、
　ａ∩ｂ＝｛１｝，ａ∩ｃ＝｛１｝
よって、
　ａ∩ｂ＝ａ∩ｃ
を満たすが、ｂ≠ｃである。

５．簡約条件を付け加える

こうして反例が存在することから、Ｒの中で簡約条件という性質は導かれないことが分かった。そこで、簡約条件をもつような可換な単位的半群を対象に考察を進めよう。

簡約条件があれば、約元の定義は、次のような強い条件となる：

　ａがｂの約元である　⇔　ｂ＝ａｘとなる元ｘがただ１つだけ存在する

従って、Ｒの元が２つの積に分解されたならば、分解された１つの元が分かれば、もう片方の分解された元もただ１つに定まることになる。

さて簡約条件の意味は分かった。しかしこの条件を付け加えたところで、任意の元が「分解しきる」ことが保証されるだろうか。そもそも何をもって「分解しきる」といえるか。そして分解できた場合、一意的か。これらの考察は次回以降にしよう。