【分解する物語（補足２）】ノルム

今回は話の位置付けとしては、『【分解する物語（７）】素元』
の補完に当たる。そこでは既約元分解が一意的でない例として
　ℤ[√(-5)]＝｛ａ＋ｂ√(-5)｜ａ，ｂは整数｝
における６の２通りの分解
　６＝２×３＝（１＋√(-5)）×（１－√(-5)）
を紹介した。

そして元２が既約元であることを、既約元の定義に則して確認した。同様にすれば他の元も確認できるが、ここでは自然数全体への乗法を保つ準同型写像（ノルム）を使って証明しよう。

ここでのノルムはℤ[√ｓ]（ｓ＜０は整数）の上で定義し、その一般化である２次拡大環上のノルムは扱わない。例えば整数係数の多項式：
　Ｘ^2 + X + 1
の１つの根：
　ω＝｛－１＋√(-3)｝/２
（ωは１の原始３乗根）をℤに添加したℤ[ω]上のノルムはここでは定義されない。

なお、以下よく使われる集合については、慣例に倣って大文字のボールド体を使った記号を定義しておく：
　ℕ：自然数（≧１）すべてから成る集合
　ℤ：整数すべてから成る集合
　ℚ：有理数すべてから成る集合
　ℝ：実数すべてから成る集合
　ℂ：複素数すべてから成る集合

１．ℤ[√ｓ]の定義

ｓを整数とし、√ｓをｓの平方根で√ｓが整数にならないとする。ｓ＜０の場合もあるが、その場合は複素数まで拡張して考える。

このとき、
　ℤ[√ｓ]＝｛ａ＋ｂ√ｓ｜ａ，ｂは整数｝
とおく。これはℂの部分集合で、ここにℂの乗法を考えるとこの乗法について閉じている。実際、
　（ａ＋ｂ√ｓ）（ｃ＋ｄ√ｓ）＝（ａｃ＋ｂｄｓ）＋（ａｄ＋ｂｃ）√ｓ
　（ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈ℤ）
となって、ℤ[√ｓ]の２元の積はℤ[√ｓ]に属している。

 ℤ[√ｓ]はこの乗法について可換で単位元を
　１＝１＋０√ｓ
とする単位的半群となる。

２．ノルムの定義と性質

ｓ＜０のとき、写像Ｎ：ℤ[√ｓ]→ℕを
　Ｎ(ａ＋ｂ√ｓ)＝(ａ＋ｂ√ｓ)(ａーｂ√ｓ)
　　　　　　　＝(ａ^2)ーｓ(ｂ^2)
と定義する。

写像Ｎは単位的半群として準同型写像となる：
　Ｎ：（ℤ[√ｓ]，・）→（ℕ，・）
　（１）Ｎ(ｘｙ)＝Ｎ(ｘ)Ｎ(ｙ)　（ｘ，ｙ∈ℤ[√ｓ]）
　（２）Ｎ(１)＝１

なお、（ℕ，・）では簡約条件を満たすから、（１）の条件を確認すれば（２）は自動的に従う。

実際、（１）が示されれば、
　　Ｎ(１)＝Ｎ(１・１)　　　
　　　　　＝Ｎ(１)・Ｎ(１)　（∵（１））
　⇒１＝Ｎ(１)　　　　　　　（∵簡約条件）
よって（２）を得る。

（１）を確認しよう。
　ｘ＝ａ＋ｂ√ｓ，ｙ＝ｃ＋ｄ√ｓ（ａ，ｂ，ｃ，ｄは整数）
とおくと、
　　Ｎ(ｘｙ)
　＝Ｎ((ａ＋ｂ√ｓ)(ｃ＋ｄ√ｓ))
　＝{ (ａｃ＋ｂｄｓ)＋(ａｄ＋ｂｃ)√ｓ } { (ａｃ＋ｂｄｓ)－(ａｄ＋ｂｃ)√ｓ }
　＝(ａｃ＋ｂｄｓ)^2ーｓ(ａｄ＋ｂｃ)^2
　＝(ａ^2)(ｃ^2)＋(ｂ^2)(ｄ^2)(ｓ^2)ーｓ(ａ^2)(ｄ^2)ーｓ(ｂ^2)(ｃ^2)
　＝(ａ^2){ (ｃ^2)ーｓ(ｄ^2) } ー ｓ(ｂ^2){ (ｃ^2)ーｓ(ｄ^2) }
　＝{ (ａ^2)ー ｓ(ｂ^2) }・{ (ｃ^2)ーｓ(ｄ^2) }
　＝Ｎ(ａ＋ｂ√ｓ)Ｎ(ｃ＋ｄ√ｓ)
　＝Ｎ(ｘ)Ｎ(ｙ)
よって、（１）を得る。

この準同型Ｎのことをノルムと呼ばれる。

３．ℤ[√(-5)]の場合

ℤ[√(-5)]の中では以下
　６＝２×３＝（１＋√(-5)）×（１－√(-5)）
という２通りの分解があった。このとき、
　２，３，１＋√(-5)，１ー√(-5)
は既約元であることをノルムを使って証明しよう。

ノルムの良いところは、ℤ[√(-5)]の乗法構造がℕの中に引き継がれるため、よくわかっているℕの整除関係の性質が利用できる点にある。

４．２∈ℤ[√(-5)]の既約元性

ℤ[√(-5)]の中で、元２が
　２＝ｘｙ
と分解できたとする。

両辺それぞれノルムを取ると、
　Ｎ(２)＝２^2＝４
　Ｎ(ｘｙ)＝Ｎ(ｘ)Ｎ(ｙ)
より、
　４＝Ｎ(ｘ)Ｎ(ｙ)
を得る。

この等式はℕにおける等式であるから、Ｎ(ｘ)Ｎ(ｙ)は
　１×４，２×２，４×１
の３通りであるが、乗法の可換性から
　１×４，２×２
のみ調べれば十分である。

ｘ＝ａ＋ｂ√(-5)とおいて、
　　Ｎ(ｘ)＝(ａ^2)＋５(ｂ^2)
の値がこれらの場合に、満たすべき整数ａ，ｂを求めてみよう。

・Ｎ(ｘ)＝１の場合　
　　(ａ^2)＋５(ｂ^2)＝１
　よって、平方数は０以上だからこの方程式を満たす整数ａ，ｂは
　　ａ＝±１，ｂ＝０
　しかない。このとき
　　ｘ＝±１
　である。よって、ℤ[√(-5)]の中で
　　ｘ～１
　である。

・Ｎ(ｘ)＝２の場合
　　(ａ^2)＋５(ｂ^2)＝２
　この場合は整数ａ，ｂの解はない。

・Ｎ(ｘ)＝４の場合
　Ｎ(ｙ)＝１だから上の事から
　　ｙ～１
　よって
　　ｘ～２
よって、ℤ[√(-5)]の中で
　　ｘ～２
　である。

以上で元２は、ℤ[√(-5)]の中で既約元であることがわかった。

５．３∈ℤ[√(-5)]の既約元性

同様にして、ℤ[√(-5)]の中で元３が
　３＝ｘｙ
と分解されるとすると、
　９＝Ｎ(ｘ)Ｎ(ｙ)
を得る。この積は
　１×３，３×３
を調べれば十分である。ｘ＝ａ＋ｂ√(-5)とおいてそれぞれ調べよう。

・Ｎ(ｘ)＝１の場合　
　上記で既に計算した。このとき、
　　ｘ～１
　である。

・Ｎ(ｘ)＝３の場合
　　(ａ^2)＋５(ｂ^2)＝３
　この場合は整数ａ，ｂの解はない。

以上で元３は、ℤ[√(-5)]の中で既約元であることがわかった。

６．１±√(-5)∈ℤ[√(-5)]の既約元性

同様にして、ℤ[√(-5)]の中で元１＋√(-5)が
　１±√(-5)＝ｘｙ
と分解されるとすると、
　６＝Ｎ(ｘ)Ｎ(ｙ)
を得る。この積は
　１×６，２×３
を調べれば十分である。ｘ＝ａ＋ｂ√(-5)とおいてそれぞれ調べよう。

・Ｎ(ｘ)＝１の場合　
　上記で既に計算した。このとき、
　　ｘ～１
　である。

・Ｎ(ｘ)＝２の場合
　この場合も上記で解いた。整数解ａ，ｂはない。

以上で元１±√(-5)は、ℤ[√(-5)]の中で既約元であることがわかった。

７．結論

今回はℤ[√ｓ]（ｓは負の整数で√ｓは整数でない）上のノルムを導入し、特にℤ[√(-5)]における以前に取り残してきた４つの元の既約元性を証明した。既約元の定義に則した証明よりも、ノルムを使った証明は簡潔になった。