たくさんの"数"

ミケ：いきなりなんだけどさ、マロってこの前数字が好きって言ってたよね？

マロ：うん！いきなりどうしたの？

ミケ：いや、そういえば複素数って結構画期的な数字だと思うんだけど、ほかに何か数字ってあるのかな～って

マロ：あるよ！

ミケ：おぉ！じゃあ教えて！

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自然数

一番有名な数字は自然数だと思うんだよね！

自然数は$${1,\ 2,\ 3,\dots}$$って感じの数字だね。自然数全体の集合は$${\mathbb{N}}$$で表すんだ！これはnatural numberの頭文字からとってるよ。

でも自然数って結構厄介なもので、$${0}$$を含むか含まないかで別れるんだよね。

日本の高校生までの数学だったら$${0}$$は含まないけど、代数学だったら含むとかがあって微妙な概念なんだよね（笑）

だから$${0}$$を含まない自然数は$${\mathbb{N^+}}$$って表すこともある！これに対して$${0}$$を含むのは$${\mathbb{N_0}}$$って書くこともある！

このブログの中では自然数っていうときには$${0}$$を含まないほうで使うね。

素数

自然数の中で約数を2つしか持たないのが素数っていうんだ。これに対して約数を3つ以上持つものを合成数っていうんだ。このなかで$${1}$$はどっちにも属さないんだ！

素数は魅惑的な数字で、たくさんの未解決問題があって、数学者を困らせてる数字なんだよね。

マロが素数に関連する未解決問題で一番好きなのはゴールドバッハの予想かな。

簡単に言うと、$${4}$$以上の偶数は二つの素数の和で表せるっていう予想だよ。

ほかにも差が2の素数のペアを双子素数って言って、この双子素数も無限にあるかはわかってないんだよね。

素数の中でもフェルマー素数とかソフィー・ジェルマン素数とかあるから調べてみてね！

完全数

完全数は、数字のすべての約数の和がその数字の2倍に等しい数字なんだ。

完全数とは違うけど、約数の和が2倍より大きいと過剰数、少ないと不足数になるよ。

ちなみに$${2^n-1}$$が素数だと$${2^{n-1}(2^n-1)}$$は完全数なんだ！

完全数は無限にあるかは未解決問題だし、奇数の完全数はまだ見つかってないしあるかどうかもわかってないんだよね！

完全数を拡張したものとして倍積完全数があって、これは約数の総和がその数字の$${n}$$倍に等しいものだよ。

ちなみに2倍の倍積完全数は完全数！

整数

整数はプラスとマイナスがついた自然数と$${0}$$でできたものなんだよね！

この整数って言葉を使えば自然数は正の整数って言えるし、$${\mathbb{N_0}}$$は非負整数って言える。

整数の集合は$${\mathbb{Z}}$$で表すよ！これはドイツ語のzehlenの頭文字をとってるよ。

有理数

有理数は整数と分数からなる数字だよ！

有理数は$${\mathbb{Q}}$$って表すよ！これは商を意味するイタリア語のquozienteの頭文字をとってるよ。

無理数

無理数は分数で表せない数字のことだよ。

有名な無理数としては$${\pi}$$とか$${e}$$$${\sqrt2}$$とかかな。

無理数特有の集合の記号はないと思うんだけど、表すとするなら次に出てくる記号を使って$${\mathbb{R-Q}}$$って表せるよ！
ちなみにこれは差集合っていうんだ。

超越数

超越数っていうのは、有理数が係数になっている方程式（代数方程式）の解にならない数字のことだよ！

例えば$${\pi}$$とか$${e}$$とか$${e^\pi}$$とか$${\pi+e^\pi}$$とか$${\pi e^\pi}$$が有名な超越数だと思う！

ほかにもふざけた数字が超越数になってて、チャンパーノウン定数ってのがあるんだ！

これは$${0.123456789101112\dots}$$っていう風に自然数を並べた少数なんだ。

案外適当に考えた数字が超越数の可能性があるかも？

でも超越数って証明するのは簡単ではないから頑張ってみてね！

実数

整数、有理数、無理数を全部まとめたのが実数なんだ！

実数の集合は$${\mathbb{R}}$$で表して、real numberの頭文字をとったものだよ。

複素数

ここで複素数が出てきたね！

複素数は虚数単位$${i}$$を使って$${a+bi}$$っていう形で表せる数字だよ！

この虚数単位の$${i}$$はimaginary numberの頭文字だよ。

この複素数を考えるときには複素数平面（ガウス平面）を使うことが多くて、xy座標軸のy軸を虚軸、x軸を実軸にしたものだよ。

この複素数に$${i}$$をかけると複素数平面上で$${90^\circ}$$回転するんだ。

複素数の集合は$${\mathbb{C}}$$で表して、complex numberの頭文字をとってるよ。

この複素数は$${i^2=-1}$$になるようなありえなかったものを使って表していたから最初は受け入れられていなかったんだけど、ガウスが取り上げたことで受け入れられるようになって今では高校生で習うものになったんだよね。

この複素数はいろんなところに関わってくるからこのことについてはまたいつか紹介しようと思う！

四元数

四元数っていうのは、$${i^2=j^2=k^2=ijk=-1}$$になる$${i,\ j,\ k}$$を使って$${a+bi+cj+dk}$$って表される数字だよ！

四元数の集合は$${\mathbb{H}}$$で表されて、これは四元数の概念を考えたハミルトン(Hamilton)の頭文字をとってるよ。

実はこれからさらに八元数とか十六元数とかがあるんだけど、ここで書こうとするとわかりずらくなっちゃうからもっと知りたければwikipediaを見てほしい（笑）

まとめ

実数は結構範囲の広い数字のように感じるし、多くの人にとっての身近な数字だから存在感あるけど、複素数を知るとなんか実数もちっぽけな存在に感じた（笑）

最後に

マロ：こんな感じ！

ミケ：四元数とか八元数って複素数にあこがれて作ったのかな？

マロ：それもあるかもね（笑）

マロ：複素数はもっと興味深い性質とかあるからまたいつか教えるね！

ミケ：わかった！楽しみにしとく！

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byマロ