3次関数を含む整数問題
お世話になります。岡山で理系に強い予備校・岡山進学研究塾です。
本日は数学の講座、京都大学で出題された整数問題を扱います。容易な問題で解説は不要かも知れませんがお付き合いください。
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京都大学の数学は難解ではない
大前提としてこれを理解していただきたいのです。今後京大の問題を扱う機会は多く出てきますが、解法そのものの難易度は高くありません。
皆さんが『難しい』と勝手に思い込んでいる可能性が高いと思われます。その根拠は今後少しずつ解き明かしていくことにします。
京大整数問題
最も有名なのは(mod3)を使用する場合ですが、今回は合同式など使うまでもありません。では、問題を見てみます。
問題解説
問題を紐解いてみましょう。
問題文から拾うべき条件
いくつかポイントを挙げます。
・|f(n)|と|f(n＋1)|がともに素数
→1とその数以外の約数を持ってはならない。
しかし、式の形を見てください。
f(x)＝x^3＋2x^2＋2
xに偶数を代入すれは必然的に関数値も偶数です。
(2以外の偶数は素数ではない)
解法条件は、『連続する2つの整数を代入して、ともに素数』ですので、0付近の偶数を±で2と4あたりまで代入して関数値を確認すればもう解けたも同然です。
f(0)＝2 f(-2)＝2 f(2)＝18 f(-4)＝-30
あとは、f(-3)、f(-1)、f(1)を計算して値を確認するだけです。
f(-3)＝-7 f(-1)＝3 f(1)＝5
これで答えは出ました。
解答
では、解いてしまいましょう。
グラフを書く
まず、グラフの外形とキーになる箇所の値を求めます。絶対値がつくため、x軸に関して折り返すのがxのどの辺りかは見当は付いている必要があります。
・導関数を求める
・増減表を書く
・グラフを書く
というくらいスムーズに一連の作業ができることが必須
要所を得て書くとこが重要。
解答作成で重要なこと
・いきなり式を書かない
記述でこれをやると確実に減点されます。
『なぜその式で処理しようとしているのか？』
これが採点者に伝わることが重要です。
・グラフや図は書いた方が良い
皆さんが使用している教材を見れば分かります。
図示した方が採点者(見る側)が分かりやすいからです。
・根拠となる日本語は要所のみを簡潔に
長々書いても仕方ありません。これは文系科目の記述試験でも同じことが言えます。
純粋な解答の書き方ではありませんので、ご了承を
以上です。数学は解き方を追求する科目で、習得には時間を要します。岡山進学研究塾では現在冬季講習を実施しています。学年別にコース分けされた非常に理路整然としたものですが、
指導時間を長めに取り理解してもらえるよう徹底的に掘り下げていくことを狙いとしています。
ご関心のある方、お問合せください。お待ちしております。
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