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【3分統計学②】図解!ベイズ更新。ワールドカップ(W杯)でメッシがPKを決めて優勝する確率は❓
確率は『面積』と考えると、とても分かり易くなります。
今回は、事前にある事象が起きる確率が分かっている時、情報を与えることで、その確率がどう変化するのかを図解します。
例として、ワールドカップ(W杯)を挙げます。
W杯のベスト4に以下の4ヶ国が進出したとします。
アルゼンチン
ポルトガル
フランス
日本
普通に考えると、これらの国のどちらかが優勝する確率は25%です。
1/4の確率で優勝するので、当然です。
この、事前に起きる確率が分かっている確率のことを【事前確率】といいます。
![](https://assets.st-note.com/img/1671281587661-ipQ5cpDgdf.png?width=1200)
そして、この事前確率に以下のような【情報】を与えると、優勝確率はどう変化するでしょうか?
情報:エースがPKを決める確率
メッシ:51%
ロナウド:37%
エムバペ:64%
堂安:7%
![](https://assets.st-note.com/img/1671281587484-aXKlJVzmDi.png?width=1200)
この『エースがPKを決める確率:○○%』という情報を与えることで、優勝確率は25%から変化します。
この確率が更新される過程を、【ベイズ更新】といいます。
これを図解して考えてみます。
【ベイズ更新】後の優勝確率は下記の青い面積となります。
例:メッシがPKを決めてアルゼンチンが優勝する確率は32.08%となります。
事前確率25% ⇒ 事後確率32.08% 【確率が更新された】
![](https://assets.st-note.com/img/1671281587008-qbT0M9wadb.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1671281587378-NJkE5roE0c.png?width=1200)
これを数字で記載したものが下図です👇
0.25(事前確率:アルゼンチンが優勝する確率) × 0.51(情報:メッシがPKを決める確率) ÷ 0.3975(周辺尤度) ≒ 0.3208(事後確率:メッシがPKを決めて優勝する確率)
![](https://assets.st-note.com/img/1671281587117-RmdNjc4bNE.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1671281587272-zmsW0WixqW.png?width=1200)
では、ベイズ更新で確率が更新される過程を見ていきます。
重要なのは、情報です。
情報は尤度(ゆうど)と呼ばれ、物事が起こる最もらしさのことを言います。
メッシの場合、尤度は51%です。
この尤度に事前確率をかけたものの総和を周辺尤度と言います。
(周辺尤度:優勝する・しないに関わらず、PKを決める確率の起こりやすさ)
![](https://assets.st-note.com/img/1671281587325-QC5dJplXhy.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1671281587180-Bp9wHkBPyh.png?width=1200)
p(B1)アルゼンチンが優勝する確率:25% × p(A1)メッシがPKを決める確率:51% = P(B1)P(A|B1)12.75%
このP(B1)P(A|B1)の総和が周辺尤度です。
![](https://assets.st-note.com/img/1671281586937-Mvis4kWYXj.png?width=1200)
式にすると、下図の青い枠線の部分が周辺尤度。
![](https://assets.st-note.com/img/1671281587588-CWS2yCBmfU.png?width=1200)
そして、更新したい確率を周辺尤度で除した数値が事後確率となります。
![](https://assets.st-note.com/img/1671281586991-WgcsINDCoK.png?width=1200)
これだけです。
まとめると、以下の式でベイズ更新が出来ます。
事前確率 × 尤度 ÷ 周辺尤度 = 事後確率
25% × 51% ÷ 39.75% ≒ 32.08%
![](https://assets.st-note.com/img/1671281587031-QSc9luLl4Y.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1671281587532-QHSDoq9kbw.png?width=1200)
事前確率(25%)に情報(メッシがPKを決める確率25%)を与えて、確率を更新することが出来ました(メッシがPKを決めてアルゼンチンが優勝する確率32.08%)。
確率を面積で考えると、ベイズ更新が分かり易くなるかと思います。
確率を味方につけると、生活の楽しみが増えると思います。
是非、身の回りの検証したい事項に当てはめてみて、確率統計を楽しんで頂ければ幸甚です。
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