フォースプレートによる床反力計測＃３ 〜複数のフォースプレートによる計測〜
はじめに
前章で，フォースプレートの力学について概説したが，ここでは複数のフォースプレートを使用する場合に，別の基準座標系から見た合成の力のモーメントやCOPの計算などについて述べる．
まずは，座標軸が平行移動した$${n}$$個のフォースプレートの計算例を取り上げる．なお，フォースプレートには$${i}$$番目のフォースプレートとして，下付きの記号で記述する．また図では便宜上二つのフォースプレートを図示する．
ここで，全てのフォースプレートの高さは同じであるとし，基準座標系もフォースプレートの表面と同じ高さに位置する．また，前章と同じでフォースプレート座標系は，フォースプレート表面と各フォースプレート座標系間の鉛直方向の距離パラメータ$${c}$$だけ下方に位置することになる．
フォースプレートの向きが異なる場合は，さらに各フォースプレート座標系$${\text{S}_i}$$を，基準座標系$${\text{S}}$$と平行になるように座標変換すればよい．
１．合成床反力
複数台（$${n}$$個）のフォースプレートの，合成の床反力$${\bm{F}=[F_{x}~F_{y}~F_{z}]^T}$$は単純に各フォースプレートの床反力$${\bm{F}_i = [F_{xi}~F_{yi}~F_{zi}]^T}$$を加算すれば良く，
$$
\bm{F}=\sum_{i=1}^n \bm{F}_i \\ \begin{bmatrix}F_{x} \\ F_{y} \\ F_{z}\end{bmatrix} = \sum_{i=1}^n \begin{bmatrix}F_{xi} \\ F_{yi} \\ F_{zi}\end{bmatrix}
$$
となる．
2．合成の力のモーメント
合成の力のモーメントを算出するためには，２章「フォースプレートの力学」で述べた平行軸の定理に基づき，各フォースプレート座標系$${\text{S}_i}$$から見た力のモーメント$${\bm{M}_{i}}$$を，基準座標系$${\text{S}}$$に変換して加算すればよい．
そこで，基準座標系$${\text{S}}$$からみた各フォースプレート座標系$${\text{S}_i}$$の原点への位置ベクトルを$${\bm{r}_{si}}$$とすると，平行軸の定理から，合成の力のモーメント
$$
\bm{M}_{s} = \sum_{i=1}^n \left\{\bm{M}_{i} + \bm{r}_{si} \times \bm{F}_{i} \right\}
$$
を得る．
一方，各フォースプレート座標系$${\text{S}_i}$$からみた力のモーメント$${\bm{M}_{i}}$$は，摩擦モーメント$${\bm{\tau}_{i}(\bm{p}_i)}$$とCOPの位置ベクトル$${\bm{p}_i}$$と床反力$${\bm{F}_i}$$の外積の和で置き換えられたので，基準座標系$${\text{S}}$$からみた各COPの位置ベクトルを$${\bm{r}_{si}}$$とすると，基準座標系$${\text{S}}$$への座標変換は平行軸の定理によって，
$$
\bm{M}_{s} = \sum_{i=1}^n \left\{\bm{\tau}_{i}(\bm{p}_i) + \bm{p}_{i} \times \bm{F}_{i} + \bm{r}_{si} \times \bm{F}_{i} \right\} \\ = \sum_{i=1}^n \left\{\bm{\tau}_{i}(\bm{p}_i) + (\bm{r}_{si}+ \bm{p}_{i}) \times \bm{F}_{i} \right\} \\ = \sum_{i=1}^n \left\{\bm{\tau}_{i}(\bm{p}_i) + \bm{p}_{si} \times \bm{F}_{i} \right\}
$$
のように書き換えることもできる．
２つのフォースプレートの場合は
$$
\bm{M}_{s} = \bm{M}_{1} + \bm{M}_{2} + \bm{r}_{s1} \times \bm{F}_{1} + \bm{r}_{s2} \times \bm{F}_{2} \\= \bm{\tau}_{1}(\bm{p}_1) + \bm{\tau}_{2}(\bm{p}_2) + \bm{p}_{s1} \times \bm{F}_{1} + \bm{p}_{s2} \times \bm{F}_{2}
$$
となる．
３．合成COPと合成摩擦モーメント #1
以下に，図１を再掲する．
前章のフォースプレートのCOPの計算と同様に，合成COPの計算のために，前節２の合成の力のモーメント，
$$
\bm{M}_{s} = \sum_{i=1}^n \left\{\bm{M}_{i} + \bm{r}_{si} \times \bm{F}_{i} \right\}
$$
を成分で記述する．ここで，合成の力のモーメント$${\bm{M}_{s} }$$，各フォースプレートの力のモーメント$${\bm{M}_{i}}$$，各フォースプレート座標系$${\text{S}_i}$$からみた各COPの位置ベクトルを$${\bm{r}_{si}}$$，合成の床反力$${\bm{F}}$$，各フォースプレートの床反力$${\bm{F}_{i}}$$を，
$$
\bm{M}_{s} = \begin{bmatrix}M_{sx}\\M_{sy}\\M_{sz}\end{bmatrix},~ \bm{M}_{i} = \begin{bmatrix}M_{xi}\\M_{yi}\\M_{zi}\end{bmatrix},~ \bm{r}_{si} = \begin{bmatrix}r_{sxi}\\r_{syi}\\r_{szi}\end{bmatrix},~\bm{F} = \begin{bmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\end{bmatrix} ,~\bm{F}_{i} = \begin{bmatrix}F_{xi}\\F_{yi}\\F_{zi}\end{bmatrix}
$$
のように成分で記述すると，
$$
\bm{M}_{s} = \sum_{i=1}^n \left\{\bm{M}_{i} + \bm{r}_{si} \times \bm{F}_{i} \right\} \\ \begin{bmatrix}M_{sx}\\M_{sy}\\M_{sz}\end{bmatrix} =\sum_{i=1}^n \begin{bmatrix}M_{xi}\\M_{yi}\\M_{zi}\end{bmatrix} + \sum_{i=1}^n \left(\begin{bmatrix} 0 & -c & r_{syi} \\ c & 0 & -r_{sxi} \\ -r_{syi} & r_{sxi} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}F_{xi}\\F_{yi}\\F_{zi}\end{bmatrix}\right) \\ = \sum_{i} \begin{bmatrix} \left(M_{xi}-c F_{yi} + r_{syi}F_{zi} \right) \\ \left(M_{yi} + c F_{xi} - r_{sxi}F_{zi} \right) \\ \left(M_{zi} -r_{syi} F_{xi} + r_{sxi}F_{yi} \right) \end{bmatrix} \\ = \sum_{i}\begin{bmatrix} \left(M_{xi} + r_{syi}F_{zi} \right) \\ \left(M_{yi} - r_{sxi}F_{zi} \right) \\ \left(M_{zi} -r_{syi} F_{xi} + r_{sxi}F_{yi} \right) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-c F_{y} \\ c F_{x} \\ 0 \\\end{bmatrix}
$$
を得る．
一方，同じ合成の力のモーメント$${\bm{M}_{s}}$$は，前章で示したように各フォースプレートのCOPと同様に，合成COP（基準座標系$${\text{S}}$$から見た位置ベクトル$${\bm{P}_{s}=[P_{sx}~P_{sy}~0]^T}$$）まわりの合成の摩擦モーメント$${\bm{T}(\bm{P}_s)=[0~0~T_z]^T}$$と，合成COPと合成床反力との外積$${\bm{P}_{s} \times \bm{F}_{s}}$$を用いて，
$$
\bm{M}_{s} =\bm{T}(\bm{P}_s) + \bm{P}_{s} \times \bm{F} \\ \begin{bmatrix}M_{sx}\\M_{sy}\\M_{sz}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\T_{z}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 &0 & P_{sy} \\ 0 & 0 & -P_{sx} \\ -P_{sy} & P_{sx} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix}P_{sy} F_{z} \\ -P_{sx} F_{z} \\ T_{z} -P_{sy} F_{x} + P_{sx} F_{y}\end{bmatrix}
$$
のように書き表すことができるので，基準座標系$${\text{S}}$$からみた全フォースプレートの合成COPに関しては，これらを比較し，
$$
\begin{bmatrix}P_{sy} F_{z} \\ -P_{sx} F_{z} \\ T_{z} -P_{sy} F_{x} + P_{sx} F_{y}\end{bmatrix} = \sum_{i}\begin{bmatrix} \left(M_{xi} + r_{syi}F_{zi} \right) \\ \left(M_{yi} - r_{sxi}F_{zi} \right) \\ \left(M_{zi} -r_{syi} F_{xi} + r_{sxi}F_{yi} \right) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-c F_{y} \\ c F_{x} \\ 0 \\\end{bmatrix}
$$
$$
P_{sy} F_{z} = \sum_{i} \left(M_{xi} + r_{syi}F_{zi} \right) -c F_{y}\\ -P_{sx} F_{z} = \sum_{i} \left(M_{yi} - r_{sxi}F_{zi} \right) + c F_{x}\\ T_{z} -P_{sy} F_{x} + P_{sx} F_{y} = \sum_{i} \left(M_{zi} -r_{syi} F_{xi} + r_{sxi}F_{yi} \right)
$$
から，合成COP
$$
P_{sx} = -\frac{ \sum_{i} \left(M_{yi} - r_{sxi}F_{zi} \right) + c F_{x}}{F_{z}} \\ P_{sy} = \frac{\sum_{i} \left(M_{xi} + r_{syi}F_{zi} \right) -c F_{y}}{F_{z}}
$$
と，鉛直$${z}$$成分だけを有する合成の摩擦モーメント$${\bm{T}(\bm{P}_s)}$$の$${z}$$成分
$$
T_{z} = \sum_{i} \left(M_{zi} -r_{syi} F_{xi} + r_{sxi}F_{yi} \right) +P_{sy} F_{x} - P_{sx} F_{y}
$$
を得る．
２つのフォースプレートの場合は
$$
P_{sx} = -\frac{ \left(M_{y1} + M_{y2} - r_{sx1}F_{z1} - r_{sx2}F_{z2} \right) + c (F_{x1}+F_{x2})}{F_{z1}+F_{z2}} \\ P_{sy} = \frac{\left(M_{y1} + M_{y2} + r_{sy1}F_{z1} + r_{sy2}F_{z2} \right) -c (F_{y1}+F_{y2})}{F_{z1}+F_{z2}}
$$
$$
T_{z} = M_{z1} +M_{z2}-r_{sy1} F_{x1}-r_{sy2}F_{x2}+r_{sx1}F_{y1}+r_{sx2}F_{y2}\\ +P_{sy} (F_{x1}+F_{x2}) - P_{sx} (F_{y1}+F_{y2})
$$
となる．
４．合成COPと合成摩擦モーメント #2
各フォースプレートのCOPと摩擦モーメントを計算している場合は，以下のように計算できる．
前述の２の合成の力のモーメント，
$$
\bm{M}_{s} = \sum_{i=1}^n \left\{\bm{\tau}_{i}(\bm{p}_i) + \bm{p}_{si} \times \bm{F}_{i} \right\}
$$
を成分で記述する．ここで，合成の力のモーメント$${\bm{M}_{s} }$$，各フォースプレートの摩擦モーメント$${\bm{M}_{i}(\bm{p}_i)}$$，基準座標系$${\text{S}}$$からみた各COPの位置ベクトルを$${\bm{r}_{si}}$$，各フォースプレートの床反力$${\bm{F}_{i}}$$を，
$$
\bm{M}_{s} = \begin{bmatrix}M_{sx}\\M_{sy}\\M_{sz}\end{bmatrix},~\bm{\tau}_{i}(\bm{p}_i) =\begin{bmatrix}0\\0\\\tau_{zi}\end{bmatrix},~\bm{p}_{si} =\begin{bmatrix}p_{sxi}\\p_{syi}\\p_{szi}\end{bmatrix},~\bm{F}_{i} =\begin{bmatrix}F_{xi}\\F_{yi}\\F_{zi}\end{bmatrix}
$$
のように成分で記述すると，
$$
\bm{M}_{s} = \sum_{i=1}^n \left\{\bm{\tau}_{i}(\bm{p}_i) + \bm{p}_{si} \times \bm{F}_{i} \right\} \\ \begin{bmatrix}M_{sx}\\M_{sy}\\M_{sz}\end{bmatrix} =\sum_{i=1}^n \begin{bmatrix}0\\0\\\tau_{zi}\end{bmatrix} + \sum_{i=1}^n \begin{bmatrix} 0 & -c & p_{syi} \\ c & 0 & -p_{sxi} \\ -p_{syi} & p_{sxi} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}F_{xi}\\F_{yi}\\F_{zi}\end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} \sum_{i} \left(-c F_{yi} + p_{syi}F_{zi} \right) \\ \sum_{i} \left(c F_{xi} - p_{sxi}F_{zi} \right) \\ \sum_{i} \left(\tau_{zi} -p_{syi} F_{xi} + p_{sxi}F_{yi} \right) \end{bmatrix}
$$
を得る．
一方，同じ合成の力のモーメント$${\bm{M}_{s}}$$は，前章で示したように各フォースプレートのCOPと同様に，合成COP（基準座標系$${\text{S}}$$から見た位置ベクトル$${\bm{P}_{s}=[P_{sx}~P_{sy}~0]^T}$$）まわりの合成の摩擦モーメント$${\bm{T}(\bm{P}_s)=[0~0~T_z]^T}$$と，合成COPと合成床反力との外積$${\bm{P}_{s} \times \bm{F}_{s}}$$を用いて，
$$
\bm{M}_{s} =\bm{T}(\bm{P}_s) + \bm{P}_{s} \times \bm{F}_{s} \\ \begin{bmatrix}M_{sx}\\M_{sy}\\M_{sz}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\T_{z}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 &0 & P_{sy} \\ 0 & 0 & -P_{sx} \\ -P_{sy} & P_{sx} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}F_{sx}\\F_{sy}\\F_{sz}\end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix}P_{sy} F_{sz} \\ -P_{sx} F_{sz} \\ T_{z} -P_{sy} F_{sx} + P_{sx} F_{sy}\end{bmatrix}
$$
のように書き表すことができるので，基準座標系$${\text{S}_0}$$からみた全フォースプレートの合成COP$${\bm{P}_s}$$に関しては，これらを比較し，
$$
\begin{bmatrix}P_{sy} F_{sz} \\ -P_{sx} F_{sz} \\ T_{z} -P_{sy} F_{sx} + P_{sx} F_{sy}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum_{i} \left(-c F_{yi} + p_{syi}F_{zi} \right) \\ \sum_{i} \left(c F_{xi} - p_{sxi}F_{zi} \right) \\ \sum_{i} \left(\tau_{zi} -p_{syi} F_{xi} + p_{sxi}F_{yi} \right) \end{bmatrix}
$$
$$
P_{sy} F_{sz} = \sum_{i} \left(c F_{xi} - p_{sxi}F_{zi} \right) \\ -P_{sx} F_{sz} = \sum_{i} \left(c F_{xi} - p_{sxi}F_{zi} \right) \\ T_{z} -P_{sy} F_{sx} + P_{sx} F_{sy} = \sum_{i} \left(\tau_{zi} -p_{syi} F_{xi} + p_{sxi}F_{yi} \right)
$$
から，合成COP
$$
P_{sx} = \frac{\sum_{i} \left(-c F_{xi} + p_{sxi}F_{zi} \right)}{F_{z}} \\ P_{sy} = \frac{\sum_{i} \left(c F_{xi} - p_{sxi}F_{zi} \right)}{F_{z}}
$$
と合成の摩擦モーメント
$$
T_{z}= \sum_{i} \left(\tau_{zi} -p_{syi} F_{xi} + p_{sxi}F_{yi} \right) + P_{sy} F_{x} - P_{sx} F_{y}
$$
を得る．
なお，この合成の鉛直軸回りの摩擦モーメント$${T_{z}}$$が，単純に各フォースプレートの摩擦モーメント$${\tau_{zi}}$$の加算だけで記述できなことからも，摩擦モーメントが偶力によるモーメント（フリーモーメント）ではないことを示している．前章と繰り返しになるが，フリーモーメントという名称は誤用である．
５．デュアルフォースプレートの例
図２のように２個のフォースプレートを平行に並べたフォースプレートの，合成の力のモーメント，合成のCOP，合成の摩擦モーメントの計算例を示す．
すでに，２個のフォースプレートの合成の力のモーメント，COP，摩擦モーメントの式は示しいてるので，具体的に図２の場合の計算を行う．
ここで，基準座標系$${S}$$の原点を，二つのフォースプレートの座標系$${S_1,S_2}$$の原点の中間に設定し（図２），
$$
\bm{r}_{s1} = \begin{bmatrix} a \\ 0 \\0 \end{bmatrix}, \bm{r}_{s2} = \begin{bmatrix} -a \\ 0 \\0 \end{bmatrix}
$$
とすると，合成の力のモーメント
$$
\bm{M}_{s} = \bm{M}_{1} + \bm{M}_{2} + \bm{r}_{s1} \times \bm{F}_{1} + \bm{r}_{s2} \times \bm{F}_{2} \\ =\begin{bmatrix} M_{x1}+M_{x2} \\ M_{y1}+M_{y2} \\ M_{z1}+M_{z2} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0&0&0 \\ 0&0&a \\ 0&-a&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} F_{x1} \\ F_{y1} \\ F_{z1} \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0&0&0 \\ 0&0&-a \\ 0&a&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} F_{x2} \\ F_{y2} \\ F_{z2} \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} M_{x1}+M_{x2} \\M_{y1}+M_{y2} \\ M_{z1}+M_{z2} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ a F_{z1} -a F_{z2} \\ -a F_{y1} + a F_{y2}\end{bmatrix}
$$
を得て，３節「合成COPと合成摩擦モーメント」の最後の結果より，合成のCOP
$$
P_{sx} = -\frac{ \left(M_{y1} + M_{y2} - a F_{zi} + aF_{z2} \right) + c (F_{x1}+F_{x2})}{F_{z1}+F_{z2}} \\ P_{sy} = \frac{\left(M_{y1} + M_{y2} \right) -c (F_{y1}+F_{y2})}{F_{z1}+F_{z2}}
$$
と合成の摩擦モーメント，
$$
T_{z} = M_{z1} + M_{z2} + a (F_{y1} -F_{y2})+P_{sy} (F_{x1}+F_{x2}) - P_{sx} (F_{y1}+F_{y2})
$$
となる．
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