(ダイジェスト)10分ちょっとでわかる最大効率追従制御，オブザーバの離散化，スライディングモードのチャタリング排除，完全追従制御，2相変調法

2018年9月18日 00:02

以下テンプレ
筆者が開発したVVVFインバータのアルゴリズムについて，その仕組みの一部を少し書きます．筆者はただの素人なので数学的な間違いや物理的意味の誤解などがあるかもしれません．独学なので表現が正しくなかったり一般性を欠いている場合がありますのでご注意ください．ほぼ自分用メモなので変数や記号の定義は割愛させていただきます．

関連項目
(ダイジェスト)10分ちょっとでわかる極配置，拡張誤差適応則，鉄損考慮モデル，MT軸制御，最適励磁制御

上掛け水車は停止状態から周速が水の自由落下の速度と釣り合までの速度領域のどこかに最大効率点があります．誘導モーターは回転速度が低くなるにつれて効率が悪くなります．上掛け水車と誘導モーターの効率を掛け合わせたトータルでの効率が最良の速度で運転させる必要があります．要するに取り出せる電力が最大となる点で運転させる必要があります．最大効率追従制御は山登り法や増分コンダクタンス法がありますが，前者は収束性が悪く，後者は微分値を用いるため雑音に弱いという欠点があります．そこで筆者は増分コンダクタンス法を改良し，統計的手法を取り入れるこどで雑音が多い環境下でも安定して最大効率追従ができるアルゴリズムを開発しました．

VVVFインバータのベクトル制御系に使用している適応2次磁束スライディングモードオブザーバは，極配置設計や伝達関数の導出などを連続時間系で行っていました．しかし，これを実際のCPU上で動かすとなると離散時間的に処理されるため，微分値の近似誤差を小さくするためサンプリング速度を十分に早くする必要があります．サンプリング速度を早めるとそれだけ単位時間あたりの処理量が増えるので，せっかく発電した貴重なエネールギーをCPUは余計に消費します．そこで，オブザーバの離散化を行なって必要十分な低速サンプリングでオブザーバを含むベクトル制御系を動かします．筆者のVVVFインバータは最高出力周波数400Hzでベクトル制御系のサンプリング速度は800Hzです．また，オブザーバを離散化するのと同様の方法で，ベクトル制御系とは別にPWM周期で離散化した電圧モデルを用いてノミナルプラントの1次電流を完全追従制御します．800Hzの固定周期で駆動されるベクトル制御系と，可変するPWM周期で駆動される完全追従制御系は，互いの指令値や状態量を再サンプルして伝達されます．

スライディングモードオブザーバの特徴として，スイッチング関数を用いて状態量を切替超平面に拘束します．スイッチング関数の適応フィルタ的能力によって，スライディングモードオブザーバは最小次元オブザーバと比較して雑音に強いことが先行の研究によって示されております．しかしながら，そのスイッチング関数によって状態量にチャタリングノイズが重畳し，場合によっては制御系に有害な影響を及ぼします．そこで筆者は適応フィルタ的能力を持ちながらチャタリングが発生しないアルゴリズムを開発しました．これにより安定性を損なうことなく素早く滑らかに状態量を切替超平面に拘束します．(ロケットや人工衛星の姿勢制御に使えないなかなーなんて思ってます．ちなみに，筆者はこのアルゴリズムを人工知能の最適化アルゴリズムとして使っていたりします)

2相変調法は，3相PWM電圧出力に於いて，2相を変調し1相を飽和状態とすることでスイッチング損を約2/3程度に低減できます．

＊最大効率追従制御＊

一般的な増分コンダクタンス法を上掛け水車に適用すると以下のようになります

P:発電電力, I:出力電流, V:電圧, τ:電気的トルク, ω:電気的回転子角速度, K_i:積分ゲイン, Δ:離散時間系の差分値

原理はPの傾斜が0になる点を追従することで最大出力点に到達するように操作量を変化させるアルゴリズムですが，ここで微分演算を含むためこれが外乱に対する感度を高め，最大出力点近傍でSN比が著しく低下するために，信号に雑音が乗った現実の装置に於いて，直近の差分値を扱うこのアルゴリズムでは雑音の影響を受けて意図した性能を発揮できない恐れがあります．

そこで，逐次最小二乗法的に多数サンプルの信号の値を蓄積して均すことで雑音の影響を受けにくくなるように改良します．

P_L:DCL電力, I_L:DCL電流, V_L:DCL電圧

これで外乱の乗ったトルクと回転速度の観測値を逐次最小二乗法的に平滑化することでSN比の低下を防ぎ，値を蓄積することで最大出力点の情報を含む値に対する感度を高め，外乱に対する感度を低くすることでロバスト性を確保し，値の蓄積や指令値の更新を数値に基づいて可変ステップとすることにより，最大出力点から遠い場合は小刻みで急峻な制御で即応性を持たせ，最大出力点近傍では大股で高精度かつ微小な制御を行うようになりまます．

＊オブザーバの離散化＊

以下のようなスライディングモードオブザーバを考えます．

これを0次ホールドで適当に離散化します．

離散時間系の差分方程式に翻訳されました．

＊スライディングモードのチャタリング排除＊

誤差信号zを通常のスライディングモードオブザーバではスイッチング関数として符号関数を用いて計算しますが，この場合常に状態量にチャタリングノイズが重畳するため実用上不便です．そこでスイッチング関数として以下に示す関数fを用いて計算することでチャタリング発生させずに動作させます．

これによりチャタリングが発生せず，適応フィルタ的能力を持ちつつ状態量を切替超平面に拘束する事が可能です．また，z=B_1d^-1(i_s-i'^_s)とすると最小次元オブザーバと等しくなります．スライディングモードオブザーバの利点は適応フィルタ的能力を有する事により，最小次元オブザーバよりも雑音に強く，オブザーバの収束を速くする事が可能な事ですが，この利点を損ねる事無く，従来から提案されて来た手法の様な符号関数よりも変化が緩慢な関数を用いることで切替超平面からの僅かな定常的な誤差を妥協してチャタリングを回避するものとは違い，適応的に高周波成分を除去し有効な信号を抽出します．

せっかくなのでN個の多入力多出力系用に拡張します．現在水力発電で実際にオブザーバに使用しているのはこちらです．