等式を満たす自然数が存在しないことを示す方法とは？（九州大：数学２０１４年）

いよいよ２次試験が迫ってきました。
今回は、九州大の論証問題について、触れておきます。
問題はこちら。

今回は（３）について扱います。
「存在しない」ことを示すわけですので、存在すると仮定して矛盾を突くという流れですね。背理法の活用です。

ただ、どうやって示すか。さらに何を示せば、等式を満たす自然数が存在しないのかが難しいですね。

ポイントは、自然数であることです。自然数は、上限は無限ですが、下限（最小値）は有限で、最小値は存在します。

このような状況の場合、無限降下法という手法が便利です。

無限降下法の場合、最小値付近の矛盾を狙っていきます。

本問の場合、（２）でa＾２＋ｂ＾２＝３ｃ＾２・・・①を満たす、自然数a、ｂ、ｃはすべて３で割り切れることがわかっているので、

・最小値を仮定し、それより小さい最小値の存在を示す。
　→最小値の不存在を示し、自然数は最小値が存在することと矛盾する。

・①を満たす自然数は、３の因数をもつので、例えば、a＝３a１と置くと、a１も①を満たすので、a＞a１＞a２・・・と無限に３割り切れてしまい、自然数としての最小値が存在しない。
　→無限に割り切れてしまう数に最小値はなく、それは自然数ではない

ことが分かります。

無限降下法的には後者の方がいい証明かなと思いますが、受験生がつくる答案としては、前者の発想で十分かなと思います。
なので、

と示すことができます。

本問は、２０２０年の熊本大に類題の出題がありますので、ぜひ挑戦してみてくださいね。