Newton力学③ 運動エネルギーと運動量

前回の記事はこちら↓

必要な前提知識はこちら↓
・極限と微分，積分(準備中……)

Newton力学も３回目に入りました。今回からようやく，物理っぽいお話ができそうです。

速度・加速度

速度

まずは速度という物理量[物理的な意味をもつ量]を考えましょう。
速度というのは，単位時間あたりの位置の変化[変位]であり，時間$${\Delta t}$$に位置が$${\Delta\boldsymbol{r}}$$だけ変化したとき，速度$${\boldsymbol{v}}$$は，

$$
\boldsymbol{v}=\dfrac{\Delta\boldsymbol{r}}{\Delta t}
$$

しかし，実際には一瞬一瞬の速度というのも必要になるので，この形では少し不満です。瞬間の速度を求めるには，時間$${\Delta t\to 0}$$の極限をとります。つまり，

$$
\boldsymbol{v}(t)=\displaystyle\lim_{t\to\infty}{\frac{\Delta\boldsymbol{r}(t)}{\Delta t}}=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}(t)}{\mathrm{d}t}=\boldsymbol{r}'(t)=\dot{\boldsymbol{r}}(t)
$$

上の形は，記法が違うだけで，どれも同じもの(位置ベクトルを時間で微分するという操作)を表しています。
Newton力学のnoteでは，時間微分を表すのに，基本的に最後の$${\dot{\boldsymbol{r}}}$$を採用しています。
また，速度の大きさ$${\boldsymbol{v}}$$のことを”速さ”といい，$${v}$$と書きます。

加速度

次に，加速度の定義を見ていきましょう。
加速度は，単位時間当たりの速度の変化であり，時間$${\Delta t}$$に速度が$${\Delta\boldsymbol{v}}$$だけ変化したときの加速度$${\boldsymbol{a}}$$は，

$$
\boldsymbol{a}=\dfrac{\Delta\boldsymbol{v}}{\Delta t}
$$

察しのよい方はお分かりかもしれませんが，瞬間の速度と同じように”瞬間の加速度”というものを考え，

$$
\boldsymbol{a}(t)=\dot{\boldsymbol{v}}(t)=\ddot{\boldsymbol{r}}(t)
$$

で定義します。

運動エネルギーと運動量

(注：この章以降の内容は実験的な試みで，一般的な教え方とは順序や定義を大きく変えています。おそらく授業で習った(あるいはこれから習う)内容と全く違うと思いますが，循環論法をなるべく回避した結果ですのでご了承ください。)

運動エネルギーと慣性質量

運動している物体は，”何かをする能力”をもちます。これを”運動エネルギー”といい，実験から速さの２乗に比例することが分かります。
(注：例えば真上に物体を投げ上げたとき，打ち出す速さを２倍にすると４倍の高さに，３倍にすると９倍の高さに達しますよね？(たぶん))

そこで，運動エネルギー$${K}$$を次のように定義します。

$$
K=\dfrac{m}{2}v^2
$$

ここで$${m}$$は”(慣性)質量”とよばれる，物体ごとに異なる定数です。式の係数が半端な値になっているのは，この後の話の都合によるものですので，あまり気にしないでくださいね。

運動量と力

”何かをする能力がある”ということは，それだけその運動が激しいということを表しています。運動エネルギーは慣性質量に比例するのだから，慣性質量も運動の激しさに関わる量だと思ってよさそうです。
そこで，慣性質量$${m}$$と速度$${\boldsymbol{v}}$$の積も，運動の激しさを表す量として採用できるのではないか，と考えるのが自然です。
この慣性質量と速度の積のことを”運動量”といい，記号$${\boldsymbol{p}}$$で表します。

運動の激しさを変えるのに，力を継続的に(つまり時間ですね)加える必要があることは，ご存知だと思います。これを物理の世界に持ち込んでみましょう。つまり，

$$
\Delta\boldsymbol{p}=\bar{\boldsymbol{F}}\Delta t
$$

ここで，$${\bar{\boldsymbol{F}}}$$は，外から加えられた力の(時間)平均。$${\Delta t\to 0}$$の極限では，

$$
\mathrm{d}\boldsymbol{p}=\boldsymbol{F}\,\mathrm{d}t
$$

この形に合うように，さまざまな力が，実験を通して定義されています。

今日はここまでです。ありがとうございました。

Newton力学編　目次
① 力学とは何か
② 位置の表し方
③ 運動エネルギーと運動量　←今ココ！
④ 運動の三法則
⑤ 種々の力
⑥ 仕事と力積
⑦ 運動方程式を解く
⑧ 回転運動
⑨ 剛体の運動
⑩ 反発係数
◼︎ 章末問題